Mapa de Karnaugh

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Mapa de Karnaugh é um método de simplificação gráfico criado por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoado pelo engenheiro de telecomunicações Maurice Karnaugh. Chamamos esse diagrama de mapa, visto este ser um mapeamento biunívoco a partir de uma tabela verdade da função que está a ser analisada.

Ele é utilizado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabela verdade no seu circuito lógico correspondente.

O método de leitura por "mapa de Karnaugh" é considerado mais simples que a "álgebra booleana", pois elimina o problema de erro nas simplificações. Porém quando utilizado mais de 6 entradas, esse método se torna complicado, pois fica difícil identificar as células adjacentes no mapa. Para esse caso são utilizados soluções algorítmicas computacionais.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Mapa de Karnaugh para duas variáveis[editar | editar código-fonte]

Utiliza-se a seguinte tabela-verdade para montar o mapa de Karnaugh, onde A e B são as entradas e F a saída:

     A B    F
 0.  0 0   S0=1
 1.  0 1   S1=0
 2.  1 0   S2=1
 3.  1 1   S3=1

Quando utilizada duas variáveis, o mapa de Karnaugh apresenta a seguinte configuração. Onde cada espaço será completado com seu nível lógico equivalente.Como já possuímos as saídas da tabela verdade do exemplo, colocaremos as mesmas no mapa de Karnaugh.

Configuração do mapa de karnaugh Mapa de Karnaugh com os valores retirados da tabela verdade

Com o mapa já construído, deve-se diferenciar os mintermos, ou seja, considerar somente os campos que possuem 1 como solução final. Eles devem ser agrupados em pares, para isso ocorrer os elementos tem que estar lado-a-lado, pode ser tanto na horizontal como na vertical. Separando em pares, obtêm-se:

Mapa de Karnaugh com campos separados

Os campos selecionados com a cor azul, estão respectivamente na coluna B(negado). Já os campos selecionados com a cor laranja estão na linha A. Formando assim a expressão simplificada: 
B(negado)+ A

Mapa de Karnaugh para três variáveis[editar | editar código-fonte]

Utiliza-se a seguinte tabela-verdade para esse exemplo, onde A, B e C são entradas e F a saída:

     A B C    F
 0.  0 0 0  S0=0
 1.  0 0 1  S1=1
 2.  0 1 0  S2=0
 3.  0 1 1  S3=1
 4.  1 0 0  S4=1
 5.  1 0 1  S5=1
 6.  1 1 0  S6=1
 7.  1 1 1  S7=0

Selecionando os elementos que estão no nível lógico 1, obtemos a seguinte expressão S=A(negado).B(negado).C + A(negado).B.C + A.B(negado).C(negado) + A.B(negado).C + A.B.C(negado), na qual é possível simplificar pelo mapa de Karnaugh. Quando utilizarmos três variáveis, o mapa apresenta a configuração apresentada abaixo, completando o mapa com as saídas obtidas da tabela verdade, teremos:

configuração do mapa de karnaugh. Mapa de Karnaugh com campos separados.

Os campos selecionados com a cor amarela, estão na coluna da variável C e linha da variável A(negado). Já os elementos com a cor verde, pertencem à coluna da variável C(negado) e linha da variável A. Os elementos circundados de rosa, são da coluna B(negado) e C. Sendo assim, a simplificação da equação é:


A(negado).C + A.C (negado)+B(negado)C

Mapa de Karnaugh para quatro variáveis[editar | editar código-fonte]

Primeiramente vamos pegar os resultados da tabela verdade para continuarmos o exemplo.

     A B C D    F
  0. 0 0 1 0  S0 = 1
  1. 0 1 0 1  S1 = 1
  2. 0 1 1 1  S2 = 1
  3. 1 0 1 0  S3 = 1
  4. 1 0 1 1  S4 = 1
  5. 1 1 0 0  S5 = 1
 
 

Nesta tabela pode-se observar os valores das variáveis "A", "B", "C", "D" e o resultado final("F") da expressão. Agora que já possuímos as saídas da tabela verdade, colocaremos as mesmas no mapa de Karnaugh. A tabela mostrada acima possui 16 saídas, assim, o arranjo mais conveniente, é uma matriz 4x4, desta forma.

Configuração do mapa de Karnaugh

Com o mapa já construído, o que devemos fazer agora, é diferenciar os mintermos dos maxtermos, ou seja, considerar somente os locais que possuem 1 como solução final.

Explicando a denotação do mapa[editar | editar código-fonte]

Campos de responsabilidade da variável A e sua negação respectivamente. Campos de responsabilidade da variável C e sua negação respectivamente.

Cada “símbolo” sendo eles A, B, C, D ou suas respectivas negações, correspondem a 8 campos cada. A visão pelo mapa, depende desses campos, sendo assim, as maiores aglomerações de valores 1, vão ser a solução final da expressão. Essas aglomerações devem ser quadrados ou retângulos e também devem conter quantidades baseadas em potências de 2, ou seja, 2, 4 ou 8.

Exemplos

As maiores quantidades de locais com valor 1 que conseguimos verificar são:

Mapa de Karnaugh com os valores agrupados.

Os campos selecionados com a cor azul, estão respectivamente na coluna da variável C e na linha das variáveis B(negado) e A(negado). A cor roxa seleciona todos os campos da variável D. A cor verde seleciona alguns campo na linha da variável A e coluna da negação da variável C(negado). Sendo assim, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte: C.B(negado).A(negado) + D + A.C(negado)

Mapa de Karnaugh para cinco variáveis[editar | editar código-fonte]

O mapa de Karnaugh utilizando 5 variáveis, é representado por 25 soluções, ou seja, 32 saídas da função. Para esta representação, utilizamos duas matrizes 4x4. Veremos abaixo um exemplo, para melhor entendimento e utilização desse método.

     A B C D E   F
  0. 0 0 0 0 0  S0 = 0
  1. 0 0 0 0 1  S1 = 1
  2. 0 0 0 1 0  S2 = 0
  3. 0 0 0 1 1  S3 = 0
  4. 0 0 1 0 0  S4 = 0
  5. 0 0 1 0 1  S5 = 1
  6. 0 0 1 1 0  S6 = 0
  7. 0 0 1 1 1  S7 = 0
  8. 0 1 0 0 0  S8 = 1
  9. 0 1 0 0 1  S9 = 1
 10. 0 1 0 1 0 S10 = 1
 11. 0 1 0 1 1 S11 = 0
 12. 0 1 1 0 0 S12 = 0
 13. 0 1 1 0 1 S13 = 1
 14. 0 1 1 1 0 S14 = 1
 15. 0 1 1 1 1 S15 = 0
 16. 1 0 0 0 0 S16 = 0
 17. 1 0 0 0 1 S17 = 0
 18. 1 0 0 1 0 S18 = 0
 19. 1 0 0 1 1 S19 = 0
 20. 1 0 1 0 0 S20 = 0
 21. 1 0 1 0 1 S21 = 1
 22. 1 0 1 1 0 S22 = 0
 23. 1 0 1 1 1 S23 = 0
 24. 1 1 0 0 0 S24 = 0
 25. 1 1 0 0 1 S25 = 0
 26. 1 1 0 1 0 S26 = 0
 27. 1 1 0 1 1 S27 = 0
 28. 1 1 1 0 0 S28 = 1
 29. 1 1 1 0 1 S29 = 1
 30. 1 1 1 1 0 S30 = 0
 31. 1 1 1 1 1 S31 = 1

Nesta tabela podemos observar os valores das variáveis “A”, “B”, “C”, “D”, “E” e o resultado final(F) da expressão.

Agora que já possuímos as saídas da tabela verdade, colocaremos as mesmas no mapa de Karnaugh da seguinte forma: Configuração do mapa de karnaugh com 5 variaveis

Com o mapa já construído, o que devemos fazer agora, é diferenciar os mintermos dos maxtermos, ou seja, considerar somente os locais que possuem 1 como solução final.

Explicando a denotação do mapa com 5 variáveis[editar | editar código-fonte]

Cada “símbolo” sendo eles A, B, C, D, E ou suas respectivas negações, correspondem a 16 campos cada. A visão pelo mapa, depende desses campos, sendo assim, as maiores aglomerações de valores 1, vão ser a solução final da expressão. Essas aglomerações devem ser quadrados ou retângulos e também contendo quantidades baseadas em potências de 2, ou seja, 2, 4, 8 ou 16.

Solução do exemplo

Mapade Karnaugh com elementos agrupados Os campos selecionados com a cor amarela estão respectivamente no lado correspondente à variável A(negado), pertencendo às linhas das variáveis B e C(negado) e na coluna da variável D(negado).

A cor roxa seleciona campos que pertencem ao lado correspondente á variável A(negado), nas colunas das variáveis D e E(negado) e também na linha da variável B. A cor verde seleciona campos tanto em A(negado) quanto A, pertence a linha da variável C e as colunas das variáveis D(negado) e E. A cor azul seleciona os campos no lado correspondente á variável A, nas linhas das variáveis C e B.

A cor laranja seleciona campos que pertencem ao lado correspondente á variável A, nas colunas das variáveis D e E(negado) e também na linha da variável C. Sendo assim, a expressão final para este exemplo é a seguinte:  A(barrado).B.C(barrado).D(barrado) + A(barrado)B.D.E(barrado) + A.C.D(barrado).E + A.B.C + A.C.D.E(barrado
)

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