Potenciais de Liénard-Wiechert

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Os potenciais de Liènard-Wiechert são a descrição matemática clássica dos potenciais escalar e vetorial de uma carga pontual em movimento. Sua derivação se origina das equações de Maxwell e portanto não é válida no domínio da mecânica quântica.

Potenciais retardados[editar | editar código-fonte]

Pode-se fazer cálculo para determinar os potenciais gerados por uma distribuição qualquer de cargas no espaço, dependentes do tempo. Nesta demonstração, chegamos a conclusão de que os potenciais gerador por uma distribuição dependente do tempo, em um ponto r, num instante de tempo t dependem desta distribuição num instante anterior que é denominado na literatura de tempo retardado. Escrevemos para o potencial elétrico:


\varphi(\mathbf{r}, t) = \int \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}  d^3r'

Aqui, \rho é a densidade de cargas avaliada no tempo retardado t_r e \mathbf{r'} é posição das cargas. O tempo retardado é definido como:


t = t_r + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}

Ou seja, o tempo retardado é devido a um tempo de propagação finito com velocidade c (velocidade da luz), e |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|/c é o tempo que o sinal levou para se propagar até o ponto \mathbf{r}. Note que \mathbf{r'} deve ser avaliado no tempo retardo também. Analogamente, podemos escrever para o potencial vetor magnético:


\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}  d^3r'

Onde \mathbf{J} é densidade volumétrica de corrente. É possível particularizar para os casos em 1 e 2 dimensões. Estes são os chamados potenciais retardados de uma distribuição de cargas e correntes.

Demonstração dos potenciais de Liènard-Wiechert[editar | editar código-fonte]

Estamos em condições de deduzir os potenciais de Liènard-Wiechert para uma carga pontual q em movimento, partindo dos potenciais retardados. O problema se torna muito simples com o uso da função delta de Dirac (\delta(x)), que tem a seguinte propriedade:


\int^{\infty}_{-\infty} \delta (x) dx = 1

\int^{\infty}_{-\infty} f(x) \delta (x - x_0) dx = f(x_0)

Primeiramente, vamos utilizar estas ideias para escrever a densidade de cargas no instante t_r.


\rho (\mathbf{r'},t_r) = \int dt' \rho (\mathbf{r'},t') \delta(t'-t_r)

Sendo a carga na posição \mathbf{w} no tempo t_r, escrevemos a densidade de cargas na forma:


\rho(\mathbf{r'},t') = q \delta (\mathbf{r' - w})

Inserindo estas definições na integral para o potencial elétrico, obtemos:


\varphi(\mathbf{r}, t) = \int \int \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \delta(\mathbf{r' - w}) \delta(t' - t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}  d^3r' dt'

As funções Delta nos permite eliminar as integrais e após alguns passos não triviais, obtemos:


\varphi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qc}{c|\mathbf{r} - \mathbf{w}| - (\mathbf{r} - \mathbf{w})\cdot \mathbf{v}}

Onde \mathbf{v} é a velocidade da partícula e definida como \mathbf{v} := \frac{d \mathbf{w}}{dt} . Obtemos assim o potencial elétrico para uma carga pontual. Este é um dos potenciais de Liènard-Wiechert. O potencial vetor pode ser deduzido de maneira análoga, notando que este pode ser escrito na forma:


\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{v}\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}  d^3r'

Adotando os mesmos passos, obtemos:

 
\mathbf{A(r},t)= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qc\mathbf{v}}{c|\mathbf{r-w}| - (\mathbf{r-w})\cdot \mathbf{v}}

A dedução dos potenciais está completa. Podemos fazer uma relação bem simples entre os dois:

 
\mathbf{A(r},t)= \frac{\mathbf{v}}{c^2} \varphi (\mathbf{r},t)

Lembrando que \mathbf{v} e \mathbf{w} devem ser avaliados no tempo retardado. Escrito desta forma, fica evidente que o potencial vetor tem a mesma direção da velocidade da partícula.

Referências

[1] D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics;

[2] John R. Reitz, Foudantions of Electromagnetism;

[3] Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics;