Quocientes de determinantes

A interpolação polinomial que utiliza os quocientes de determinantes foi desenvolvida pelo engenheiro mecânico e matemático brasileiro Marcello José Quintieri Pinheiro (Nova Friburgo, 8 de março de 1965) em 2003 a partir da fórmula clássica de interpolação de Lagrange. Os coeficientes polinomiais como quocientes de determinantes podem também ser obtidos utilizando-se a Regra de Cramer. Os quocientes de determinantes permitem calcular todos os coeficientes de um polinômio de grau n$-$1 definido pelos pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂), ... , (x_n,y_n). O desenvolvimento foi registrado sob o número 294206 no EDA da Fundação Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro em 30 de julho de 2003 .

A fórmula de interpolação de Lagrange desenvolvida como resultado dos trabalhos do matemático Joseph Louis Lagrange (Turim, 25 de janeiro de 1736 - Paris, 10 de abril de 1813) é:

$y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\prod _{i\neq j}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}$

A fórmula de interpolação de Lagrange pode ser escrita como o somatório do produto entre a razão de determinantes e a variável independente xⁱ, como segue:

$y=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {detA_{i}}{detV_{n}}}x^{i}$

onde $a_{i}={\frac {detA_{i}}{detV_{n}}}$ são os coeficientes de um polinômio de grau n$-$1 definido pelos n pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂), . . . , (x_n,y_n). O índice i é um número inteiro do intervalo $0\leq i\leq n-1.$ A_i e V_n são matrizes, sendo V_n a matriz de Vandermonde de ordem $n\geq 2.$

Considerando dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂), tem-se:

$y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}x$

que é a função do 1^o grau ou função afim $y=a_{0}+a_{1}x,$ onde a₀ é o coeficiente linear da reta e a₁ é o coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente linear determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e o coeficiente angular é determinado pela tangente do ângulo definido entre o eixo das abscissas (eixo x) e a reta no sentido anti-horário em relação ao primeiro quadrante.

$a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}$

$a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}$

Considerando três pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃), tem-se:

$y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x^{2}$

que é a função do 2^o grau ou função quadrática $y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},$ $a_{2}$ $\neq$$0.$

$a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}$

$a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}$

$a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}$

Se ${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,$ então os pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃) são colineares.

Considerando quatro pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) e (x₄,y₄), tem-se:

$y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{2}+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{3}$

que é a função do 3^o grau ou função cúbica $y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},$ $a_{3}$ $\neq$$0.$

$a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}$

$a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}$

$a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}$

$a_{3}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}$

Se os pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃), (x₄,y₄), . . . , (x_n,y_n) são colineares, então

${\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{0}$

e

${\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{1}$

tal que $y=a_{0}+a_{1}x.$

Referências

• [1]