Tautologia (regra de inferência)

Na lógica proposicional, tautologia é uma de duas regras de substituição comumente utilizadas. As regras são usadas para eliminar redundâncias em disjunções e conjunções quando elas ocorrem em provas lógicas. Elas são:

O princípio da idempotência da disjunção:

$P\lor P\Leftrightarrow P$

e o princípio da idempotência da conjunção:

$P\land P\Leftrightarrow P$

Onde "$\Leftrightarrow$" é um símbolo da metalógica que representa "pode ser substituído numa prova lógica com".

Relação com tautologia

A regra tem esse nome porque seu conceito é o mesmo do enunciado tautológico. Se "p e p" é verdade, então, "p" é verdade; e se "p ou p" é verdade, então, "p" é verdade.

Esse tipo de tautologia é chamada de idempotência. Embora essa regra seja uma expressão particular da tautologia, qualquer regra de inferência pode ser representada por uma tautologia e vice-versa.

Notação formal

Teoremas são fórmulas lógicas $\phi$ onde $\vdash \phi$ é a conclusão de uma prova válida, enquanto a consequência semântica equivalente  $\models \phi$ indica uma tautologia.

A regra da tautologia pode ser expressada com as sentenças:

$P\lor P\vdash P\,$

e

$P\land P\vdash P\,$

onde $\vdash$ é um símbolo lógico que significa que $P$ é uma consequência sintática de $P\lor P$, em um caso, $P\land P$ em outro caso, no sistema lógico.

ou como regra de inferência:

${\frac {P\lor P}{\therefore P}}$

e

${\frac {P\land P}{\therefore P}}$

onde a regra é: sempre que uma instância de "$P\lor P$" ou "$P\land P$" aparecer em uma prova lógica, pode ser substituído apenas por "$P$".

O princípio foi afirmado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em "Principia Mathematica" como:

$(P\lor P)\to P\,$

e

$(P\land P)\to P\,$

onde $P$ é uma preposição formal.