Tensor tensão

Em mecânica de meios contínuos, o tensor tensão é o tensor que trata da distribuição de tensões e esforços internos nos meios contínuos.

Tipos de tensor tensão

Tensor tensão de Cauchy

O teorema de Cauchy (sobre as tensões de um corpo) estabelece que dada uma distribuição de tensões internas sobre a geometria de um meio contínuo deformado, que satisfaz as condições do princípio de Cauchy, existe um campo tensorial T simétrico definido sobre a geometria deformada com as seguintes propriedades:

1. . $t(\mathbf{x},n) = [T_C(\mathbf{x})](n),$
2. . $\nabla\cdot T_C(\mathbf{x}) + f(\mathbf{x}) = 0,$
3. . $T_C(\mathbf{x}) = T_C^T(\mathbf{x})$

A terceira propriedade significa que este tensor será dado sobre as coordenadas especificadas por uma matriz simétrica. Cabe assinalar que em um problema mecânico a priori é difícil conhecer o tensor tensão de Cauchy já que este está definido sobre a geometria do corpo uma vez deformado, e esta não é conhecida de antemão. Portanto previamente é necessário encontrar a forma deformada para conhecer exatamente o tensor de Cauchy. Entretanto, quando as deformações são pequenas, em engenharia e aplicações práticas se emprega este tensor ainda que definido sobre as coordenadas do corpo sem deformar (o qual não conduz a erros de cálculo excessivo se todas as deformações máximas são inferiores a 0,01).

Representação gráfica das componentes do tensor tensão em uma base ortogonal.

Fixado um sistema de referência ortogonal, o tensor tensão de Cauchy é dado por uma matriz simétrica, cujas componentes são:

$[T_C]_{xyz} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$

A segunda forma é a forma comum de chamar às componentes do tensor tensão em engenharia.

Primeiro tensor tensão de Piola-Kirchhoff

Os tensores de Piola-Kirchhoff T_R se introduzem para evitar a dificuldade de ter que trabalhar con um tensor definido sobre a geometria já deformada (que normalmente não é conhecida de antemão). A relação entre ambos tensores vem dada por:

$T_R(\mathbf{x}) = det(\nabla F) T_C(\mathbf{x}) (\nabla F)^{-T}$

Onde F é o tensor gradiente de deformação. Este tensor entretanto, tem o problema de que não é simétrico (ver segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff

Este tensor se introduz para lograr um tensor definido sobre a geometria previa à deformação e que além disso seja simétrico, a diferença do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que não tem porque ser simétrico. O segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff vem dado por:

$\Sigma_R(\mathbf{x}) = det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_C(\mathbf{x}) (\nabla F)^{-T},$

Ver também

• Mecânica de meios contínuos
• Elasticidade (mecânica de sólidos)
• Teorema de Rivlin-Ericksen
• Tensor deformação