Vetor de Laplace

Em matemática e física, o operador do vetor de Laplace, denotado por $\nabla ^{2}$, nomeado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, é um operador diferencial definido em um campo vetorial. O vetor Laplaciano é semelhante ao laplaciano escalar.

Definição

O vetor Laplaciano de um campo vetorial $\mathbf {A}$ é definido como

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).$

Em coordenada cartesianas, isso reduz a forma muito mais simples:

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),$

onde $A_{x}$, $A_{y}$, e $A_{z}$ são os componentes de $\mathbf {A}$. Isso pode ser visto como um caso especial da fórmula de Lagrange (veja Produto triplo).

Para expressões do vetor Laplaciano em outros sistemas de coordenadas, veja Del em coordenadas cilíndricas e esféricas.