Ponto isolado

Em topologia, um ponto $x$ de um espaço topológico $X$ é dito um ponto isolado de um subconjunto $S\subseteq X$ se $x\in S$ e existe em $X$ uma vizinhança perfurada de $x$ que não contém nenhum ponto de $S$.

Em particular, em um espaço métrico, um ponto $x$ é dito isolado se existe $\varepsilon >0$ tal que $x$ é o único ponto de $S$ no intervalo $(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )$, ou seja, se existe uma bola em torno de $x$ que não contém nenhum ponto de $S$. Equivalentemente, um ponto $x\in S$ é dito isolado se e somente se ele não é um ponto de acumulação de $S$.

Um conjunto cujos elementos são todos pontos isolados é dito um conjunto discreto. Um conjunto que não contém pontos isolados é dito denso em si mesmo. Um conjunto fechado que não contém pontos isolados é chamado de conjunto perfeito.

Exemplos

• No conjunto $S=\{0\}\cup [1,2]$, o ponto $0$ é um ponto isolado.
• O conjunto $S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\ldots ,{\frac {n}{n+1}},\ldots \right\}$ é discreto, já que seus pontos são todos isolados, e seu único ponto de acumulação é o número $1$, que não pertence ao conjunto.
• O conjunto $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ dos números naturais é um conjunto discreto.