Calota esférica

Uma calota esférica, em geometria, é a parte de uma esfera cortada por um plano. Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma hemiesfera (semiesfera).

Calota esférica 3D

Se o raio da esfera é $r,$ o raio da base da calota $a,$ e a altura da calota $h,$ o volume da calota esférica será:

${\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})$

Outra expressão para encontrar o volume da calota esférica, em função do raio da esfera e da altura h, é:

${\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)$

e a área superficial da calota esférica $2\pi rh.$

Demonstracão da fórmula do volume da calota

O volume de uma abertura de ângulo sólido subtraído do volume do cone interior a essa abertura representa o volume da calota esférica, logo, tem-se:

Volume da abertura(V1):

Recorde-se que, pela definição de ângulo sólido, o volume de abertura subentendido pelo ângulo sólido é proporcional ao volume da esfera. Ou seja, isso se traduz para:

$V1={\frac {\Omega }{4\pi }}Volume_{esfera}$, onde é sabido que, para este caso, $\Omega ={\frac {A_{calota}}{r^{2}}}$. Por conseguinte, tem-se:

$V1={\frac {Area_{calota}}{Area_{esfera}}}Volume_{esfera}$

$V1={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

$V1={\frac {2}{3}}\pi r^{2}h$

Volume do cone(V2):

$V2={\frac {\pi h}{3}}(2r-h)(r-h)$

Volume da calota esférica:

$V1-V2=V_{calota}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)$

Ligações externas

• «Calculadora online para calcular o volume e a área de uma calota esférica» (em inglês). - formularium.org 
• «Formulário de áreas e volumes» (em espanhol). - www.acienciasgalilei.com