Caráter de um grupo

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Em matemática, um caráter de um grupo é o grupo de representações de um grupo por funções de valores complexos.

Estas funções podem ser pensados como representações em matrizes unidimensionais e logo são casos especiais do grupo de caráteres que se colocam no relacionado contexto da teoria do caráter. Quando um grupo é representado por matrizes, a função definida pelo traço de matrizes é chamada um caráter; no entanto, esses traços em geral, não formam um grupo.

Algumas propriedades importantes destes caráteres unidimensionais aplicáveis a caráteres em geral:

  • Caráteres são invariantes sobre classes de conjugação.
  • Os caráteres de representações irredutíveis são ortogonais.

A primordial importância do grupo de caráter para grupos abelianos finitos é na teoria dos números, onde são usados para construir caráteres de Dirichlet. O grupo de caráter do grupo cíclico também aparece na teoria da transformada de Fourier discreta. Para grupos abelianos localmente compactos, o grupo de caráter (com uma pressuposição de continuidade) é central na análise de Fourier.

Noções preliminares[editar | editar código-fonte]

Sendo G um grupo arbitrário. Uma função mapeando o grupo aos números complexos diferentes de zero é chamada um caráter de G se ele é um homomorfismo de grupos — isto é, se e onde e é a identidade do grupo.

Se f é um caráter de um grupo finito G, então cada função de valor f(g) é uma raíz da unidade (desde que todos os elementos de um grupo finito tenham ordem finita).

Cada caráter f é uma constante sobre classes de conjugação de G, que é, f(h g h−1) = f(g). Por esta razão, o caráter é algumas vezes chamado função de classe.

Um grupo abeliano finito de ordem n tem exatamente n caráteres distintos. Estes são notados por f1, ..., fn. A função f1 é a representação trivial; que é, . Ela é chamada de caráter principal de G; os outros são chamados de caráteres não principais. Os caráteres não principais tem a propriedade que para algum .

Definição[editar | editar código-fonte]

Se G é um grupo abeliano, então o conjunto de caráteres fk forma um grupo abeliano sob multiplicação para cada elemento . Este grupo é o grupo de caráteres de G e é algumas vezes notado como . Esta é de ordem n. O elemento identidade de é o caráter principal f1. A inversa de fk é a recíproca 1/fk. Note que desde que , a inversa igual ao conjugado complexo.

Ortogonalidade de caráteres[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz A=A(G) cujo elementos são onde é o késimo elemento de G.

A soma das entradas na jésima linha de A é dada por

if , e
.

A soma das entradas na késima coluna A é dada por

if , e
.

Sendo que denota o conjugado transposto de A. Então

.

Isto implica que a desejada relação de ortogonalidade para os caráteres: i.e.,

,

onde é o delta de Kronecker e é o conjugado complexo de .

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]