6174

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6174 (seis mil, cento e setenta e quatro) é um número inteiro conhecido entre os matemáticos por possuir várias propriedades, a saber:

  • 6174 é um Número Harshad, pois é divisível pela soma dos seus dígitos;
  • 6174 é um número suave-7, ou seja, nenhum de seus fatores primos é maior que 7.
  • 6174 pode ser escrito como a soma dos três primeiros graus de 18: 183 + 182 + 181 = 5832 + 324 + 18 = 6174;
  • A soma dos quadrados dos fatores primos de 6174 é um quadrado: 22 + 32 + 32 + 72 + 72 + 72 = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 132;

Além de todas essas propriedades, o número 6174 tornou-se ainda mais notório entre os matemáticos após o matemático indiano D. R. Kaprekar apresentar, na Madras Mathematical Conference de 1949, uma característica que fez o número 6179 ficar conhecido como Constante de Kaprekar.[1][2][3] Em 1953, essa singularidade foi publicada na revista científica Scripta Mathematica, sendo citada no artigo "Problems involving reversal of digits".[4] Desde então, esta singularidade intriga os matemáticos, que suspeitam tratar-se de um grande teorema, mas até hoje nada foi revelado.[5]

Constante de Kaprekar[editar | editar código-fonte]

A Constante de Kaprekar é uma característica do número inteiro 6174, descoberta pelo matemático indiano D. R. Kaprekar, que funciona da seguinte maneira:

  1. Tome qualquer número de 4 dígitos, usando ao menos 2 dígitos diferentes (zeros complementares iniciais são permitidos).
  2. Arrange os dígitos em ordem ascendente e depois em ordem decrescente, de modo a obter dois números a quatro dígitos, adicionando zeros iniciais se necessário.
  3. Subtraia o menor número do maior.
  4. Repita o passo 2.

O processo acima, conhecido como rotina de Kaprekar, sempre convergirá para o seu ponto fixo, o valor 6174, em no máximo oito iterações.[6] Assim que 6174 for alcançado, o processo continua a resultar no valor 7641 – 1467 = 6174. Por exemplo, escolha 3524:

5432 – 2345 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174

Os únicos números a quatro dígitos para os quais a rotina de Kaprekar não leva a 6174 são dígitos repetidos tais que 1111, 2222, etc, que levam ao resultado 0 após uma simples iteração. Todos os outros números a quatro dígitos eventualmente levam a 6174 se zeros complementares iniciais forem usados para manter os números a quatro dígitos:

2111 – 1112 = 0999
9990 – 0999 = 8991 (em vez de 999 – 999 = 0)
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174

9831 chega a 6174 após 7 iterações:

9831 – 1389 = 8442
8442 – 2448 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532 (em vez de 882 – 288 = 594)
8532 – 2358 = 6174

8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787 e 4778 alcançam 6174 após 4 iterações:

8774 – 4778 = 3996
9963 – 3699 = 6264
6642 – 2466 = 4176
7641 – 1467 = 6174

Note que em cada iteração da rotina de Kaprekar, os dois números participando da subtração têm a mesma soma de seus dígitos e, assim, o mesmo resto módulo 9. Assim, o resultado de cada iteração da rotina de Kaprekar é um múltiplo de 9.

Sequência de transformações de Kaprekar terminando em 6174

O inteiro 495 é a constante equivalente para números de três dígitos. Para números com cinco dígitos ou mais, não há uma só constante equivalente; para cada número de dígitos a rotina pode se terminar em um ou diversos valores fixos ou pode entrar um de vários loops.[6]

Sequência de de transformações de Kaprekar a três dígitos terminando-se em 495

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Mysterious number 6174
  2. Kaprekar DR (1955). «An Interesting Property of the Number 6174». Scripta Mathematica. 15: 244–245 
  3. Kaprekar DR (1980). «On Kaprekar Numbers». Journal of Recreational Mathematics. 13 (2): 81–82 
  4. «A rotina de Kaprekar» (PDF). Revista do professor de matemática Nº 76. Março de 2011. Consultado em 4 de fevereiro de 2013 [ligação inativa]
  5. bbc.com/ O mistério dos números 6174 e 495 que intriga matemáticos há 70 anos
  6. a b Weisstein, Eric W. «Kaprekar Routine» (em inglês). MathWorld 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]