Curva de perseguição

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Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) [1] .

Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:

  1. O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
  2. A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.

Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

Equação diferencial de uma curva de perseguição[editar | editar código-fonte]

Sejam as coordenadas de um ponto perseguidor, e as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado

Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então:

Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com , teremos:

,

ou, tomando x como uma variável independente,

O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.

De e , quando a forma da função é determinada, e podem ser encontrados em termos de e , e esses valores nos permitem reduzir para uma equação entre . Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão . Queremos saber o caminho do perseguidor.[2]

Solução[editar | editar código-fonte]

A equação do caminho da primeira partícula dado por , por , é

,

então,

.

Assim nós temos que



e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é

.

Então,

.

Multiplicando por e integrando

Logo,

Disso, se não for igual a ,

mas se for igual a , teremos, ao substituir por

disso,

que é representado por uma parábola.

O problema do Rato[editar | editar código-fonte]

Trajetórias de perseguição.

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho [3] [4] de polígonos proporcionais ao original.

Referências

  1. (Em inglês) Boole, George (1732) Treatise on Differential Equations http://archive.org/stream/atreatiseondiff06boolgoog#page/n268/mode/2up
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  3. (Em inglês) http://mathworld.wolfram.com/Whirl.html
  4. Simulação em vários polígonos do efeito redemoinho: (http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/forum/poligono2.html)

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]

(Em Português) Aplicação de Problemas e Curvas de perseguição no Ensino Médio

(Em inglês)http://www.hsu.edu/uploadedFiles/Faculty/Academic_Forum/2006-7/2006-7AFPursuit.pdf

(Em inglês)http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
(Em alemão)http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Hundekurven.html