Derivada logarítmica

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Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula:[1]

, onde é a derivada de

Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:

Contexto Histórico[editar | editar código-fonte]

Logaritmo natural[editar | editar código-fonte]

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos , e admite uma extensão como uma função complexa analítica em

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.

Origem[editar | editar código-fonte]

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

a(x+y) = ax ay

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = ax, multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

u = ax , v =ay , u.v = a(x+y)

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno (x<1)

ax ≈ 1+kx

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, e para a = 10,

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Convenções de notação[editar | editar código-fonte]

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), isto é., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biolologos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).[1]

Demonstração da derivada logarítmica[editar | editar código-fonte]

Considerando que vamos provar que sua derivada é a .

Seja uma função logarítmica do logaritmo natural

O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x.

Utilizando o conceito de derivada, temos que :

=

Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:

1/h

Aplicando uma mudança de variável

Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma :

1/h

1/xt = 1/t

1/xt = 1/t]1/x

No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que

1/t = e

Logo:

1/x =

Mas, , portanto :

[2]

Referências