Desigualdade das médias

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A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.

Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então:

onde , veja somatório.

e , veja produtório.


Demonstração do caso n=2[editar | editar código-fonte]

Queremos mostrar que:

Como e são reais, temos:

Expandindo, temos:

Somando , obtemos:

Reagrupando:

Como são números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:

A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:

Multiplique ambos os lados por ::

E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:

E o resultado segue.

Demonstração no caso [editar | editar código-fonte]

Queremos a igualdade para , com k inteiro positivo.

Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.

Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para :

Aplique a desigualdade da média com dois elementos:

Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:

E assim, conclua:

E a primeira desigualdade segue pois

Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:

E a segunda desigualdade segue.

Demonstração do caso geral[editar | editar código-fonte]

Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.

Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:

Escreva:

Queremos mostrar que

Substitua

Observe que:

Assim temos, da primeira desigualdade:

Rearranjando, temos:

A segunda desigualdade diz:

O que equivale a:

ou:

Equivalente a:

O que completa a demonstração.

Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética[editar | editar código-fonte]

Se, na desigualdade de Cauchy fizermos , ela assume a forma:

Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por .
Finalmente:

Ver também[editar | editar código-fonte]