Desigualdade de Hadwiger–Finsler

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Em Matemática, a desigualdade de Hadwiger–Finsler é um resultado em geometria de triângulos (ou trigonometria) no plano euclidiano, assim chamado em homenagem aos matemáticos Hugo Hadwiger e Paul Finsler. Afirma-se que se um triângulo no plano tem seus lados com comprimentos a, b and c e área T, então

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4 \sqrt{3} T \quad \mbox{(HF)}.[1]

A desigualdade de Weitzenböck é um corolário simples da desigualdade de Hadwiger–Finsler: se um triângulo no plano tem lados de comprimento a, b e c e área T, então

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} T \quad \mbox{(W)}.

A desigualdade de Weitzenböck pode também ser provada usando a fórmula de Heron, pelo que o caminho que pode ser visto na igualdade detém em (W) se e somente se o triângulo é um triângulo equilátero, ou seja, a = b = c.

A desigualdade de Hadwiger–Finsler é um caso especial da desigualdade de Pedoe.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Finsler, Paul. (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326. DOI:10.1007/BF01214300.
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