Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.
Sejam
conjugados de Lebesgue, ou seja:
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c2a28ff973964da8a6fa501bc80fe38875831f)
Sejam
e
seqüências se números reais ou complexos
Então:
![{\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n}\right|\leq \left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7131b8dce8ff0f0aa7187b0beeebcb52f91639)
Sejam
conjugados de Lebesgue, ou seja:
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c2a28ff973964da8a6fa501bc80fe38875831f)
E ainda,
e
(veja espaço lp), vale:
![{\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq \sup _{N}\sum _{n=1}^{N}|a_{n}b_{n}|\leq \sup _{N}\left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e43a774f407f58a38cd79929596179b4380c67c)
Sejam
conjugados de Lebesgue, ou seja:
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c2a28ff973964da8a6fa501bc80fe38875831f)
Sejam
e
funções
,
e
, então:
![{\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cb247f3d244cec15979a6bcd8b5b0dee23f045)
Observe que a desigualdade implica
A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.
Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:
![{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x)}{\left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e274fe3ea43cb63e811a58dab168b93414ffef61)
![{\displaystyle {\tilde {g}}(x)={\frac {g(x)}{\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270851e66624a90258cb3d0cfa1990b8d0af76b2)
Então estimemos pela desigualdade triangular:
![{\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \int _{V}\left|f(x)g(x)\right|dx=\left(\int _{V}|f(x)|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9326e54afbc59437b0dc0e21533d43be95916637)
Basta mostrar que:
![{\displaystyle \int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38043d199185d277f28b3d0cc6814b21b630a690)
Agora, usamos a desigualdade de Young:
![{\displaystyle |{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)|=|{\tilde {f}}(x)|\cdot |{\tilde {g}}(x)|\leq {\frac {1}{p}}|{\tilde {f}}(x)|^{p}+{\frac {1}{q}}|{\tilde {g}}(x)|^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54f92384fd22e03f701b77360675862a7f2ccaa)
![{\displaystyle \left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}\int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx+{\frac {1}{q}}\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8883ffd095fc988169f75dd942a1f9b00e1c35b8)
Da definição de
e
, temos:
![{\displaystyle \int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx=\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c447bad1fc3641046a2205400843749e1af426c6)
![{\displaystyle \left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f735134288af8db48818de1b4ae3423ef9f0f03c)
E finalmente:
![{\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cb247f3d244cec15979a6bcd8b5b0dee23f045)
Na linguagem dos espaços lp, a desigualdade toma a forma:
![{\displaystyle \left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{1}}\leq \left\|\{a_{n}\}\right\|_{\ell ^{p}}\left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{p^{*}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaeeeccf03d8e2345bf8aeded93583c0bee6692b)
Nos espaços Lp, tem a forma:
![{\displaystyle \left\|fg\right\|_{L^{1}}\leq \left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|g\right\|_{L^{p^{*}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861ddac29c44a6ba232a268174340c95002951af)
Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial)
ou
.