Distribuição de Dirichlet

Na probabilidade e estatística, a Distribuição de Dirichlet (nome em homenagem à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), frequentemente representada por Dir(α), é uma distribuição discreta multivaridada com um parâmetro (vetorial) α não-negativo e real.

Em análises Bayesianas, a distribuição de Dirichlet é usada como a distribuição conjugada da distribuição multinomial, ou seja, se a distribuição a priori é uma distribuição de Dirichlet e a variável observada é uma multinominal, então a distribuição a posteriori será uma distribuição de Dirichlet (com outro parâmetro).

Função de densidade das probabilidades

A função de densidade das probabilidades da distribuição de Dirichlet de ordem K são as seguintes:

$f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$

Onde $x_{i}\geq 0\,$, $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1\,$, e $\alpha _{i}>0\,$.

A normalização constante é a multinomial função beta, que podem ser expressos nos termos da função gama:

$\mathrm {B} (\alpha )={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}}.$

Propriedades

se $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )$ e $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}$. então:

$\mathrm {E} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},$

$\mathrm {Var} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}={\frac {\mathrm {E} [X_{i}|\alpha ](1-\mathrm {E} [X_{i}|\alpha ])}{(\alpha _{0}+1)}}.$

De fato, essa é uma das propriedades da distribuição beta:

$X_{i}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{i},\alpha _{0}-\alpha _{i}).$

Além disso:

$\mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}|\alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.$

A maneira de distribuição resulta em um vetor (x₁, ..., x_K) com:

$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$

A distribuição de Dirichlet é conjugada como uma distribuição multinomial com a seguinte lógica: se

$\beta |X=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{K})|X\sim \operatorname {Mult} (X),$

Onde β_i São ocorrências dos números i na amostra de n Pontos na discreta distribuição de {1, ..., K} definida por X, então:

$X|\beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta ).$

A relação usada nas estatísticas Bayesiana para descobrir o valor das incógnitas, X, de uma distribuição oculta de probabilidades, dada por n amostras. Intuitivamente, a distribuição prior representada como Dir(α), sendo Dir(α + β) resulta em uma distribuição posterior observadas com o historiograma β.

Neutralidade

(ver artigo principal: Vetor Neutro).

se $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )$, então o vetor ~$X$ será neutro se o sentido de $X_{1}$ for independente de $X_{2}/(1-X_{1}),X_{3}/(1-X_{1}),\ldots ,X_{K}/(1-X_{1})$ e similar à $X_{2},\ldots ,X_{K-1}$.

Ver também

• Distribuição beta

Notas

1. Disformização variável,por Luc Devroye

Ligações externas

• (em finlandês)Estudos da Distribuição de Dirichlet
• (em inglês)Calculando os parâmetros da distribuição de Dirichlet
• SciencesPo: Pacote do R que contém funcões para simulação dos parâmetros da distribuição de Dirichlet.