Divisibilidade: diferenças entre revisões

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Revisão das 19h23min de 26 de maio de 2013

clarissa  atnemju arrub adrem adagac

j Formalmente escreve-se que: b é divisor de a $\Leftrightarrow \exists _{c\in \mathbb {Z} }:a=bc$

Propriedades da divisibilidade

Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;
Se a é um inteiro, temos que: 1|a;
Se a é um inteiro, temos que: a|a;
Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
Se a|b e b|c, temos que: a|c;
Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
Se ab|ac então: b|c;
Se b|c, então: ab|ac;
Se a|b, então (b/a)|b.

Algoritmo da divisão

Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = qb + r

Demonstração

Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxius, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,

qb ≤ a < (q + 1)b

segue deste teorema que

0 ≤ a - qb < b

definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista $r_{1}$ e $q_{1}$ que satisfaça a = $q_{1}$ b + $r_{1},$ temos

(qb + r) - ( $q_{1}$ b + $r_{1}$ ) = 0

(q - $q_{1}$ )b = ( $r_{1}$ - r)

então

b | ( $r_{1}$ - r) (b divide ( $r_{1}$ - r))

Como $r_{1}$ < b e r < b, segue que | $r_{1}$ - r| < b, concluímos que

$r_{1}$ - r = 0 ⇒ $r_{1}$ = r

e

(q - $q_{1}$ )b = 0

qb = $q_{1}b$ ⇒ q = $q_{1}$

Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.

Exemplos

34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7 + 6
25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1

Bibliografia

Introdução à Teoria dos Números. [S.l.]: IMPA. 2007. ISBN 9788524401428 Parâmetro desconhecido |SobrenomeAutor= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |NomeAutor= ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido |Páginas= ignorado (|páginas=) sugerido (ajuda)

Ver também

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+ clarissa  atnemju arrub adrem adagac
-{{sem-fontes|ciência=sim|data=dezembro de 2009}}
+j
-Em [[aritmética]] e [[teoria dos números]], diz-se que um [[número inteiro]] não nulo ''a'' divide um inteiro ''b'' se existe um inteiro ''c'', tal que: b=a*c. Se ''a'' divide ''b'', ''b'' é chamado [[múltiplo]] de ''a'' e ''a'' é chamado [[divisor]] de ''b''. Se ''a'' divide ''b'' usamos o símbolo: a|b
 Formalmente escreve-se que: ''b'' é divisor de ''a'' <math>\Leftrightarrow \exists_{c \in \mathbb{Z}} : a=b c</math>