Equações do telegrafista

As equações do telégrafo ou, mais propriamente, equações do telegrafista, são um par de equações diferenciais lineares que descrevem a tensão e corrente em circuitos elétricos de linhas de transmissão com a distância e o tempo. As equações vêm de Oliver Heaviside, que, na década de 1880, desenvolveu o modelo de linha de transmissão, que é descrito neste artigo. O modelo demonstra que as ondas eletromagnéticas podem ser refletidas no fio, e que os padrões de onda podem aparecer ao longo da linha. A teoria se aplica a linhas de transmissão de todas as frequências, inclusive linhas de transmissão de alta-frequência (tais como fios telegráficos e condutores de radiofrequência), frequência de áudio (tais como linhas telefônicas), de baixa freqüência (tais como linhas de energia) e de corrente contínua.

Componentes distribuídos

As equações do telégrafo, como todas as outras equações que descrevem fenômenos elétricos, resultam das equações de Maxwell. Em uma abordagem mais prática, supõe-se que os condutores são compostos por uma série infinita de componentes elementares, cada um representando um infinitamente pequeno segmento da linha de transmissão:

A resistência distribuída $R$ dos condutores é representada por um resistor em série (expresso em ohms por unidade de comprimento).
A indutância distribuída $L$ (devido ao campo magnético ao redor do fio, auto-indutância, etc.) é representada por um indutor em série (henries por unidade de comprimento).
A capacitância $C$ entre os dois condutores é representado por um capacitor shunt C (farads por unidade de comprimento).
A condutância $G$ do material dielétrico que separa os dois condutores é representado por um resistor shunt entre o fio de sinal e o fio de retorno (siemens por unidade de comprimento). Este resistor no modelo tem uma resistência de ohms.

O modelo consiste de uma série infinita dos elementos infinitesimais mostrados na figura, e os valores dos componentes são especificados por unidade de comprimento; por isso a imagem do elemento pode parecer enganosa. Uma alternativa é utilizar a notação de $R'$ , $L'$ , $C'$ , e $G'$ para enfatizar que os valores são derivadas com relação ao comprimento. Estes valores são todos constantes em relação ao tempo, à tensão e à corrente. Eles podem ser funções não constantes da frequência.

As equações

As equações do telégrafo são:

{\frac {\partial V}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)-RI(x,t)

{\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}(x,t)-GV(x,t)

Estas podem ser formuladas como equações diferenciais parciais de apenas uma variável, que são conhecidas como equações do telegrafista:

{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial V}{\partial t}}(x,t)+GRV(x,t)

{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+GRI(x,t)

Ver também

Referências

Hayt, William H. (1971), Engineering Circuit Analysis second ed. , New York, NY: McGraw-Hill |ISBN= e |isbn=
Karakash, John J. (1950), Transmission Lines and Filter Networks 1st ed. , Macmillan