Espaço de configuração

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Em mecânica clássica e mecânica lagrangiana, o espaço de configuração é o espaço de todas as possíveis posições instantâneas de um sistema mecânico. O espaço de configuração de um sistema mecânico tem estrutura de variedade diferenciável, de dimensão N, onde N é o número de graus de liberdade do sistema mecânico. Por esta razão as vezes também se conhece este espaço como variedade de configuração.

Além disso pode definir-se o espaço de configuração ampliado como o conjunto de todas as posições possíveis e todas as velocidades possíveis. O espaço de configuração ampliado tem a característica de que representa o espaço de todos os possíveis estados do sistema mecânico. Este espaço ampliado pode construir-se a partir do espaço de configuração, mediante uma construção topológica conhecida como fibrado tangente. Assim o espaço de configuração ampliado é uma variedade diferenciável de dimensão 2N, sendo N o número de graus de libertade, que é nem mais nem menos que o fibrado tangente TQ do espaço de configuração Q.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Por exemplo, o espaço de configuração de uma única partícula movendo-se no espaço tridimiensional euclidiano é simplemente ℝ3. Para N partículas é ℝ3N. Para um pêndulo o espaço de configuração é S1 já que a posição do mesmo é dada por um único ângulo (por exemplo o ângulo respectivo à vertical).

Para dar conta não só da posição senão também do momento linear (ou alternativamente a velocidade) se constrói o espaço fásico \Gamma, que matematicamente é dado pelo fibrado tangente do espaço original. Este fibrado tangente é uma variedade de dimensão 2m, sendo m o número de graus de libertade do sistema mecânico. Assim podemos dar os seguintes exemplos de espaços fásicos:

  1. Para uma partícula que se move no espaço tridimensional \Gamma = \mathbb{R}^6 \,.
  2. Para N partículas que se movem no espaço tridimensional \Gamma = \mathbb{R}^{6N} \,.
  3. Para um pêndulo \Gamma = S^1 \times \mathbb{R}^1.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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(em espanhol)

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