Pêndulo

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Uma ilustração de um pêndulo simples.

Em mecânica, um pêndulo simples é um dispositivo que consiste numa massa puntiforme presa a um fio inextensível que oscila em torno de um ponto fixo.[1] O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório.

A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objecto leva para percorrer toda a trajectória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza, existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período (f = 1 / T), e que portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objecto percorre a trajectória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo(1/s).

Pendulo Simples

Equação do movimento[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação do pêndulo

Denota-se o ângulo formado entre a vertical e o braço de pêndulo. Faz-se as seguintes hipóteses:

  1. O braço é formado por um fio não flexível que se mantém sempre com o mesmo formato e comprimento.
  2. Toda a massa, , do pêndulo está concentrada na ponta do braço a uma distância constante do eixo.
  3. Não existem outras forças a actuar no sistema senão a gravidade e a força que mantém o eixo do pêndulo fixo. (O movimento é portanto conservativo).
  4. O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano xy.

É fácil ver que a segunda lei de Newton fornece a seguinte equação diferencial ordinária não-linear conhecida como equação do pêndulo:

Fórmula do período para pequenas oscilações[editar | editar código-fonte]

Para pequenas oscilações, Huygens mostrou no seu livro Horologium oscillatorium (1673) que a aproximação fornece a seguinte expressão para o período do pêndulo:

T: período

L: comprimento do fio

Uma aproximação para o período válida para amplitudes tão grandes quanto foi obtida por Bernoulli em 1749:

.

A obtenção de fórmulas aproximadas para o período do pêndulo no regime não-linear (i.e., para grandes amplitudes) tem recebido muita atenção nos últimos 20 anos. Por exemplo, Kidd e Fogg propuseram, em 2002, a seguinte fórmula prática, válida para :

.

Em seguida, o brasileiro Fábio Lima, físico da Universidade de Brasília, propôs em 2006 uma fórmula simples ainda mais precisa, válida para qualquer amplitude :[2]

,

onde .

Estimando o comprimento do pêndulo[editar | editar código-fonte]

pode ser expresso como

Se usarmos o Sistema internacional de unidades (isto é, comprimento em metros e tempo em segundos), então, na superfície da Terra (g = 9.80665 m/s²), o comprimento do pêndulo pode ser estimado de forma simples a partir do seu período:

Em outras palavras:

Na superfície da Terra, o número que representa o comprimento de um pêndulo em metros é igual ao obtido calculando-se um quarto do quadrado do seu período em segundos.

Pêndulo físico[editar | editar código-fonte]

O pêndulo físico pode ser chamado de pêndulo real, pois não tem uma distribuição uniforme de massa. Ele consiste em um objeto que oscila em torno de um eixo de rotação perpendicular ao plano em que se movimenta. Pela Segunda Lei de Newton para corpos extensos, temos:

em que

Em que τ é o torque atuante no corpo, α é a aceleração angular, I é o momento de inércia . Temos também que a força F que realiza torque no corpo é a força peso, e o braço r é a distância d entre o centro de massa do objeto e o eixo de rotação. Assim temos:

e, igualando as equações, tem-se a equação diferencial

.

Para pequenos ângulos, podemos usar a aproximação sendo possível obter uma solução para a equação diferencial

que é homogênea e linear. Assim, temos

e

,

onde T é o período de oscilação, I é o momento de inércia, m é a massa do pêndulo, g é o valor da aceleração da gravidade e d é a distância do ponto de pivô onde está preso até seu centro de massa.

Se o ponto de pivô estiver em seu centro de massa, não haverá oscilação.

Conservação de energia[editar | editar código-fonte]

Em pêndulos simples, se a massa presa à extremidade do fio for solta de um ponto A a uma determinada altura h, a energia potencial gravitacional do sistema nesse ponto é máxima, enquanto que a energia cinética é nula, pois ainda não há movimento. Após ser solta, a energia potencial gravitacional máxima irá se transformar em energia cinética, até que atinja a vertical do pêndulo (isto é, a posição normal do pêndulo sem sofrer perturbações). Ao atingir a vertical, o sistema terá energia cinética máxima, pois, passado este ponto, a massa vai contra a gravidade. Passando a vertical, o sistema reverte a energia cinética em energia potencial gravitacional, até que a massa atinja sua altura máxima; neste ponto, a energia potencial gravitacional é máxima e a cinética volta a ser nula, já que é o momento em que a massa para e o movimento muda de sentido.

Dessa forma, em um pêndulo simples, a energia mecânica, na ausência de forças dissipativas (p.ex atrito, força de resistência do ar) se conserva.[3]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Serway, Raymond A; Jewett Jr, John W (2007). Princípios de Física. 2. São Paulo: Thomson. p. 423-425. ISBN 85-221-0413-1 
  2. Lima, Fábio M. S. (2006). «An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime». American Journal of Physics. Consultado em 24 de junho de 2019 
  3. «Pêndulo Simples | Física e Vestibular». fisicaevestibular.com.br. Consultado em 2 de julho de 2017 
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