Pêndulo

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Uma ilustração de um pêndulo simples.

Em mecânica, um pêndulo simples é um dispositivo que consiste numa massa puntiforme presa a um fio inextensível que oscila em torno de um ponto fixo.[1] O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório.

A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objecto leva para percorrer toda a trajectória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza, existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período (f = 1 / T), e que portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objecto percorre a trajectória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo(1/s).

Pendulo Simples

Equação do movimento[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação do pêndulo

Denota-se o ângulo formado entre a vertical e o braço de pêndulo. Faz-se as seguintes hipóteses:

  1. O braço é formado por um fio não flexível que se mantém sempre com o mesmo formato e comprimento.
  2. Toda a massa, , do pêndulo está concentrada na ponta do braço a uma distância constante do eixo.
  3. Não existem outras forças a actuar no sistema senão a gravidade e a força que mantém o eixo do pêndulo fixo. (O movimento é portanto conservativo).
  4. O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano xy.

É fácil ver que a segunda lei de Newton fornece a seguinte equação diferencial ordinária não-linear conhecida como equação do pêndulo:

Fórmula do período para pequenas oscilações[editar | editar código-fonte]

Para pequenas oscilações, a aproximação fornece a seguinte expressão para o período do pêndulo:

T: período

L: comprimento do fio

Uma e válida mesmo para amplitudes tão grandes como é dada por:

.

Estimando o comprimento do pêndulo[editar | editar código-fonte]

pode ser expresso como

Se usarmos o Sistema internacional de unidades (isto é, comprimento em metros e tempo em segundos), então, na superfície da Terra (g = 9.80665 m/s²), o comprimento do pêndulo pode ser estimado de forma simples a partir do seu período:

Em outras palavras:

Na superfície da Terra, o comprimento de um pêndulo em metros é aproximadamente um quarto do quadrado do seu período em segundos.

Pêndulo físico[editar | editar código-fonte]

O pêndulo físico pode ser chamado de pêndulo real, pois não tem uma distribuição uniforme de massa. Ele consiste em um objeto que oscila em torno de um eixo de rotação perpendicular ao plano em que se movimenta. Pela Segunda Lei de Newton para corpos extensos, temos:

em que

Em que τ é o torque atuante no corpo, α é a aceleração angular, I é o momento de inércia . Temos também que a força F que realiza torque no corpo é a força peso, e o braço r é a distância d entre o centro de massa do objeto e o eixo de rotação. Assim temos:

e, igualando as equações, tem-se a equação diferencial

.

Para pequenos ângulos, podemos usar a aproximação sendo possível obter uma solução para a equação diferencial

que é homogênea e linear. assim, temos

e

,

onde T é o período de oscilação, I é o momento de inércia, m é a massa do pêndulo, g é o valor da aceleração da gravidade e d é a distância do ponto de pivô onde está preso até seu centro de massa.

Se o ponto de pivô estiver em seu centro de massa, não haverá oscilação.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Serway, Raymond A; Jewett Jr, John W (2007). Princípios de Física 2 (São Paulo: Thomson). p. 423-425. ISBN 85-221-0413-1. 
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