Energia potencial gravitacional

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A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do sol.

A energia potencial gravitacional ou energia gravitacional é a energia potencial que um objeto massivo tem em relação a outro objeto massivo devido à gravidade. É a energia potencial associada ao campo gravitacional, que é parcialmente convertida em energia cinética quando os objetos caem uns contra os outros. A energia potencial gravitacional aumenta quando dois objetos são separados.

Para duas partículas pontuais que interagem em pares, a energia gravitacional é determinada pelas massas das partículas, sua separação e a constante gravitacional (G).[1] Perto da superfície da Terra, o campo gravitacional é aproximadamente constante, e a energia potencial gravitacional de um objeto pode ser expressa por

.

Nessa expressão é a massa do objeto, é a gravidade da Terra e é a altura do centro de massa do objeto acima de um nível de referência escolhido.[1]

Expressão genérica[editar | editar código-fonte]

Corpos pontuais[editar | editar código-fonte]

Sabe-se que o campo das forças gravitacionais entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa e o vetor é:

onde G representa a constante de gravitação universal, m1 e m2 representam as massas em interação, representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e representa o módulo (tamanho) do vetor , ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial como uma função tal que:

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

Logo, a função potencial é:

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

Corpos extensos[editar | editar código-fonte]

Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se ao cálculo de um integral de volume sobre os dois corpos a fim de se determinar a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais se dividem os corpos. Tal cálculo é dependente da geometria dos corpos, podendo ser complexo em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos a uma esfera com distribuição simétrica de massa se encontram sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula pontual localizada no centro da esfera, desde que a essa partícula se associe uma massa igual à massa de toda a esfera original. Newton demonstrou também que a expressão geral acima é válida para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas). Esta expressão pode assim, por exemplo, ser utilizada para aproximar com alta precisão a energia potencial armazenada no sistema Terra - Lua, sendo que a distância a considerar-se é, neste caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

Mecânica newtoniana[editar | editar código-fonte]

Na mecânica clássica, duas ou mais massas sempre têm potencial gravitacional. A conservação da energia requer que a energia desse campo gravitacional seja sempre negativa, de modo que seja zero quando os objetos estão infinitamente distantes.[2] A energia potencial gravitacional é a energia potencial que um objeto possui porque está dentro de um campo gravitacional.

A força entre uma massa pontual, , e outra massa pontual, , é dada pela lei da gravitação de Newton:

Para obter o trabalho total realizado por uma força externa para trazer a massa pontual do infinito para a distância final (por exemplo, o raio da Terra) dos dois pontos de massa, a força é integrada em relação ao deslocamento :

Como , o trabalho total realizado no objeto pode ser escrito como:[3]

Relatividade geral[editar | editar código-fonte]

Na relatividade geral, a energia gravitacional é extremamente complexa e não há uma definição única do conceito. Às vezes, é modelado por meio do pseudotensor Landau-Lifshitz[4], que permite a retenção das leis de conservação de energia-momento da mecânica clássica.

A adição do tensor tensão-energia-momento da matéria ao pseudotensor Landau-Lifshitz resulta em uma matéria combinada mais pseudotensor de energia gravitacional que tem uma 4-divergência de desaparecimento em todos os quadros - garantindo a lei de conservação. Algumas pessoas objetam a esta derivação alegando que os pseudotensores são inadequados na relatividade geral, mas a divergência do pseudotensor de matéria combinada mais energia gravitacional é um tensor.

Aproximação para campo gravitacional uniforme[editar | editar código-fonte]

Considerando o campo gravitacional próximo da superfície da Terra como uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b «Gravitational Potential Energy». hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Consultado em 22 Novembro 2020 
  2. For a demonstration of the negativity of gravitational energy, see Alan Guth, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6, Appendix A—Gravitational Energy.
  3. Tsokos, K. A. (2010). Physics for the IB Diploma Full Colour revised ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 143. ISBN 978-0-521-13821-5  Extract of page 143
  4. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7


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