Pêndulo de Foucault

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Física
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho

\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \mathbf{J}
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Pêndulo de Foucault em Filadélfia (Franklin Institute)

Um pêndulo de Foucault (pronunciado "fu-cô"), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do Panthéon de Paris. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida à rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.[1] [2]

Princípio[editar | editar código-fonte]

Animação do Pêndulo de Foucault exibindo o sentido de rotação no hemisfério sul.

Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo (o teto do Panthéon, por exemplo), o pêndulo oscila sempre no mesmo plano (em relação a esse ponto); no entanto, a Terra gira em torno dele (o que é previsto pelas leis de Newton, e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo). Em um referencial mais habitual, o da Terra, é então o pêndulo que vai sofrer uma rotação.

O pêndulo deve ser idealmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude do local.

Por exemplo :

  • 1 dia sideral nos pólos;
  • 1,4 dias a 45^{o} de latitude;
  • 2 dias a 30^{o} de latitude;
  • infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com 0^{o} de latitude, no equador.

Um pouco de matemática[editar | editar código-fonte]

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequenas para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos Oxy este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, Ox eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo), e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical, dirigido para cima.lp

Caso do pêndulo simples[editar | editar código-fonte]

Sem se levar em conta a rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:

 \left \{ \begin{matrix} x'' = - \omega^2 x\\ y''= - \omega^2 y \end{matrix} \right.

onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:

\omega = \sqrt{g/l}

onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V0 segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:

 \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.

Caso do pêndulo de Foucault[editar | editar código-fonte]

Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis

2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})

onde \vec{v} é a velocidade do pêndulo, \vec{k} é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.

Se nos encontramos à latitude θ, então o vetor \Omega \vec{k} tem como componentes no referencial Oxyz

\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}

\vec{v} tem como componentes

\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix},

de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes

\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}.

As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:

 \left\{\begin{matrix} x'' = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y'' = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.

Se se supõe ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V0 no eixo Ox, então pode-se verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:

 \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.

com

\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}

Pode-se escrever que:

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}

Interpretação e comparação[editar | editar código-fonte]

A quantidade {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω0 ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω0 é muito pequena.

Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção

\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}

que roda lentamente segundo a pulsação

\Omega \sin(\theta)

Ver também[editar | editar código-fonte]

O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Pêndulo de Foucault

Referências

  1. Somerville, W.B. (1972). "The Description of Foucault’s Pendulum" (PDF) (em inglês). Q. J. R. Astron. Soc. 13 (40).
  2. Hart J.B., Miller R. E. e and R.L.Mills. (1987). "A simple geometric model for visualizing the motion of a Foucault pendulum" (em inglês). Am. J. Phys. 55: 67-70.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]