Dimensão

Na matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.

Exemplos

• A dimensão de $\mathbb {R} ^{n}$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {R} ^{n}$ é descrito por $n\,$ números reais.
• A dimensão real de $\mathbb {C} ^{n}$ é $2n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {C} ^{n}$ é descrito por $2n\,$ números reais.
• A dimensão complexa de $\mathbb {C} ^{n}$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {C} ^{n}$ é descrito por $n\,$ números complexos.
• A dimensão de um espaço vectorial é o número de vectores de qualquer base desse espaço.

Contexto

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais $\mathbb {R} \,$, o espaço dos números complexos $\mathbb {C} \,$ tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais $\mathbb {Q} \,$, a sua dimensão é $2^{\aleph _{0}}\,$ (a potência do contínuo).

Analogamente, $\mathbb {Q} [i,{\sqrt {3}}]\,$ é um espaço de dimensão 2 sobre $\mathbb {Q} [{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]\,$, mas é um espaço de dimensão 4 sobre $\mathbb {Q} \,$

Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão $\aleph _{0}\,$, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é $2^{\aleph _{0}}\,$.

Notas

^{[nota 1] ^} A palavra espaço vem do latim (spatìum,ìí) e significa extensão, distância e intervalo. Dimensão do latim (mensìo,ónis) significa medida.