Teoria das perturbações: diferenças entre revisões
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Coletando os termos de mesma ordem, o mesmo resultado é obtido |
Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja: |
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:<math> |
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\begin{array}{rcl} |
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a_0&=&\pm 1\\ |
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a_1&=&\frac{1}{2}\\ |
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a_2&=&\frac{a_1-a_1^2}{2a_0}=\frac{1}{8a_0}=\pm\frac{1}{8} |
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[[categoria:Teoria da aproximação]] |
[[categoria:Teoria da aproximação]] |
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[[en:perturbation theory]] |
Revisão das 23h35min de 28 de agosto de 2008
Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas comoequações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.
Exemplo
Considere a equação do segundo grau:
Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:
O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:
E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:
Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :
Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:
Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja: