Teoria das perturbações

 Nota: Se procura pelo conceito da física quântica, veja teoria perturbacional.

Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau

Considere a equação do segundo grau:

$x^{2}-\varepsilon x-1=0\,$

Quando $\varepsilon =0\,$, esta equação possui duas raízes, $x=1\,$ e $x=-1\,$. Quando $\varepsilon \neq 0\,$, suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\\x_{2}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon -{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\end{array}}\,$

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}={\sqrt {1+\left(\varepsilon /2\right)^{2}}}=1+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})$

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&1+{\frac {1}{2}}\varepsilon +{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\\x_{2}&=&-1+{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\end{array}}\,$

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro $\varepsilon \,$:

${\begin{array}{rcl}x&=&a_{0}+a_{1}\varepsilon +a_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \\\end{array}}\,$

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:

${\begin{array}{rcl}\left(a_{0}^{2}-1\right)+a_{0}\left(2a_{1}-1\right)\varepsilon +\left(2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}-a_{1}\right)\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{3})=0\end{array}}\,$

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:

${\begin{array}{rcl}a_{0}&=&\pm 1\\a_{1}&=&{\frac {1}{2}}\\a_{2}&=&{\frac {a_{1}-a_{1}^{2}}{2a_{0}}}={\frac {1}{8a_{0}}}=\pm {\frac {1}{8}}\end{array}}\,$

Aplicação a uma equação do terceiro grau

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

$x^{3}-x+\varepsilon =0\,$

É fácil ver que as raizes dessa equação quando $\varepsilon =0\,$ são dadas por $-1,0{\hbox{ e }}1$, pois:

$x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1)\,$

Vejamos como estas raízes são pertubadas quando o parâmetro $\varepsilon \,$ é pequeno. Para tal, definimos a série:

$x=a_{0}+a_{1}\varepsilon +a_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \,$

e substituimos na equação:

${\begin{array}{rcl}\left[a_{0}^{3}+a_{0}\right]+\left[a_{1}(3a_{0}^{2}-1)\right]\varepsilon +\left[3a_{1}^{2}a_{0}+3a_{0}^{2}a_{2}-a_{2}\right]\varepsilon ^{2}=O(\varepsilon ^{3})\\\end{array}}\,$