Número cardinal

O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números.

Os numerais podem ser cardinais ou ordinais. O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade única, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra.

Em geral, aprendemos e nos acomodamos tão facilmente a passar do ponto de vista cardinal para o ordinal, que quase não distinguimos mais essa diferença. Num exemplo simples: o mês de setembro é composto de 30 dias. O número 30 indica o total, a quantidade absoluta, de dias desse mês. Trata-se, portanto, de um número cardinal.

Porém, empregamos outro ponto de vista quando dizemos "dia 30 de outubro". Nesse caso o número 30 não está sendo usado para indicar os 30 dias do mês, mas o trigésimo dia de outubro, especificando o seu lugar na ordem de sucessão dos dias desse mês, explicando uma ordem. Trata-se, então, de uma utilização ordinal.

Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A|

Por exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se |A| = 3

Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou conjunto potência:

$|A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^{n}$

Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes.

Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais:

• O cardinal dos números reais: card($\mathbb {R}$) = c (contínuo)
• O cardinal dos números naturais: card($\mathbb {N}$) = $\aleph _{0}$ (alef-0)

A teoria dos conjuntos define rigorosamente o que significa $|A|=|B|$ e $|A|\leq |B|$ e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo:

$|A|>|B|\leftrightarrow (|B|\leq |A|\land \lnot (|A|=|B|))$

• $|A|=|B|$ quando existe uma bijeção entre A e B
• $|A|\leq |B|$ quando existe uma função injetiva de A para B

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder mostra que, se $|A|\leq |B|$ e $|B|\leq |A|$, então $|A|=|B|$.

Ao se considerar os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, pode-se provar que, se A e B são conjuntos, então $|A|\leq |B|\lor |B|\leq |A|$. Junto com o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, qualquer conjunto formado por cardinais é bem ordenado, o que permite escrever qualquer cardinal infinito da forma $\aleph _{\alpha }$, sendo $\alpha$ um ordinal.

A hipótese do continuum diz que c (cardinal dos números reais) é igual a $\aleph _{1}$, e sua negação diz que existe um conjunto X tal que $|\mathbb {N} |<|X|<|\mathbb {R} |$.

Definição formal

Usando-se os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC), pode-se definir o cardinal de um conjunto $A^{\,}$ como o menor número ordinal $\alpha _{\mbox{ }}$ equipotente com $A^{\,}$. Em outras palavras, $\left|A^{\,}\right|$ é o menor ordinal $\alpha ^{\,}$, tal que existe $f^{\,}$ bijetora, $f\!:\!\alpha \rightarrow A$

Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto $A$ é não vazio, então pelo Axioma da escolha pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a $A$ é não vazio. Novamente, pelo Axioma da escolha, existe um menor ordinal equipotente a $A$.

Operações com Cardinais

Sucessor

Como |A| < |P(A)|, então, pela boa-ordenação dos cardinais, existe um menor cardinal maior que |A|. No caso de |A| ser finito, o sucessor no contexto de cardinais é o mesmo que no contexto de ordinais, mas, para |A| infinito, isso não é verdade.

O sucessor de um cardinal α é representado por α⁺. No caso geral, em que α é infinito, α⁺ > α + 1.

Soma

A soma |A| + |B| é definida como o cardinal da união disjunta de A e B. Uma forma de construir uma união disjunta é através do produto cartesiano com um conjunto unitário:

• $|A|+|B|=|A\times \{0\}\cup B\times \{1\}|\,$

Produto

O produto cartesiano define o produto de cardinais:

• $|A|\times |B|=|A\times B|\,$

Potência

A conjunto das funções de B em A, convenientemente representado por $A^{B}\,$, permite definir a potência entre cardinais:

• $|A|^{|B|}=|A^{B}|\,$

Em particular, temos que

• $|A|^{0}=1\,$

porque existe uma função $f:\varnothing \to A\,$, que é a função cujo gráfico é o próprio conjunto vazio.

Note-se também que:

• $|P(A)|=2^{|A|}\,$

através da bijeção $f:2^{A}\to P(A)\,$, definida por

• $f(g)=\{x\in A|g(x)=1\}\,$.

Neste contexto, $2^{A}\,$ é o conjunto das funções de domínio A e contra-domínio 2 = {0, 1}, mas a relação acima motiva a notação (indevida) de $2^{A}\,$ para o conjunto das partes.

Em contraste com as operações de soma e produto, a potência de cardinais produz números bem maiores que a potência de ordinais. Por exemplo, os ordinais $\omega +\omega \,$, $\omega .\omega \,$ são ordinais maiores que $\omega \,$, porém sua cardinalidade é $\aleph _{0}\,$, a mesma de $\omega \,$. Porém $2^{\omega }\,$ e $\omega ^{\omega }\,$ são ordinais cuja cardinalidade é $\aleph _{0}\,$. ^{[carece de fontes]}

Tipos de Cardinais

Cardinal sucessor

Um cardinal $\alpha ^{\,}$ que é o sucessor de um outro cardinal $\beta ^{\,}$, ou seja $\alpha =\beta ^{+\!}$ é dito cardinal sucessor. Nesse caso, $\beta ^{\,}$ é dito o antecessor de $\alpha ^{\,}$. Por exemplo, o número 3 é um cardinal sucessor, pois 3 é o sucessor de 2 (e 2 o antecessor de 3). Por outro lado, o cardinal 0 não é sucessor, poi não tem antecessor.

Cardinal limite

Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em $\aleph _{\alpha }$ temos que $\alpha ={\mbox{0}}$ ou $\alpha$ é um ordinal limite. Como consequência disso, se $\kappa ^{\,}$ é um cardinal limite, então:

Se $\lambda <\kappa ^{\,}$, então $\lambda ^{+}<\kappa ^{\,}$

Cardinal limite forte

De maneira análoga à propriedade dos cardinais limites, pode ser definida uma propriedade mais forte. Um cardinal $\kappa ^{\,}$ diz-se limite forte se:

Se $\lambda <\kappa ^{\,}$, então $\left|{\mathcal {P}}\left(\lambda \right)\right|<\kappa ^{\,}$

Equivalentemente:

Se $\lambda <\kappa ^{\,}$, então $2^{\lambda }<\kappa ^{\,}$

E portanto:

$\forall \lambda <\kappa ^{\,}\left(2^{\lambda }<\kappa ^{\,}\right)$

Cardinais finitos

Note-se que as definições acima são consistentes com as operações binárias usuais para números naturais, exceto $0^{0}\,$ que não está definido para números naturais, mas, para cardinais, é igual a um.

Bibliografia

• HRBACEK, Karen; JECH, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker 

• LEVY, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover