Estatística de Maxwell–Boltzmann

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Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.

O número esperado de partículas com energia \epsilon_i para a estatística de Maxwell–Boltzmann é N_i onde:


\frac{N_i}{N} = \frac {g_i} {e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}} = \frac{g_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z}

onde:

N=\sum_i N_i\,
Z=\sum_i g_i e^{-\epsilon_i/kT}

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude m e cada um deles têm uma quantidade mi da magnitude m e ao longo do tempo ocorre que M := m1+m2+...+ mN.

Limites de aplicação[editar | editar código-fonte]

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que N_i seja substancialmente menor que g_i para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

N_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}\pm 1}

Assumindo que o valor mínimo de \epsilon_i é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

e^{-\mu/kT} \gg 1

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

\mu=\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V}=-kT\ln\left(\frac{V}{N\Lambda^3}\right)

onde E é a energia interna total, S é a entropia, V é o volume, e \Lambda é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

\frac{V}{N\Lambda^3}\gg 1.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice-Hall, Inc., 2001, New Jersey.
  • Selva, Rodolfo N. (abril de 1997), «Capítulo IV» La Llave Ediciones S.R.L., Dispositivos Electrónicos, 1ra edición, páginas 84 a 99. ISBN 950-795-009-5.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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