Estatística de Maxwell–Boltzmann

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Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.[1] [2]

O número esperado de partículas com energia para a estatística de Maxwell–Boltzmann é onde:

onde:

  • é o número de partículas no estado i
  • é a energia do estado i-ésimo
  • é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia
  • é o potencial químico
  • é a constante de Boltzmann
  • é a temperatura absoluta
  • é o número total de partículas

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude e cada um deles têm uma quantidade da magnitude e ao longo do tempo ocorre que .

Limites de aplicação[editar | editar código-fonte]

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que seja substancialmente menor que para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

Assumindo que o valor mínimo de é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

onde é a energia interna total, é a entropia, é o volume, e é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

Referências

  1. Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice-Hall, Inc., 2001, New Jersey. ISBN 0-13-779208-5 (em inglês)
  2. Selva, Rodolfo N. (abril de 1997), «Capítulo IV» La Llave Ediciones S.R.L., Dispositivos Electrónicos, 1ra edición, páginas 84 a 99. ISBN 950-795-009-5

Ver também[editar | editar código-fonte]


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