Fatoração de Cholesky

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Em matemática, a fatoração de Cholesky (ou decomposição de Cholesky) foi assim denominada em homenagem a André-Louis Cholesky que estabeleceu que uma matriz simétrica e positiva definida pode ser decomposta em uma matriz triangular inferior e sua transposta. A matriz triangular é o triângulo de Cholesky da matriz original. O resultado de Cholesky pode ser estendido para matrizes com entradas complexas. A fatoração de Cholesky é muito útil na resolução de problemas de ortoganalização de sinais. Ele permite obter de forma matricial da ortonormalização de Gram-Schimdt.

Definição[editar | editar código-fonte]

A decomposição de Cholesky de uma matriz Hermitiana positiva definida "A" se dá da forma:

, onde L é matriz triangular inferior e L* é uma matriz conjugada transposta de L.

Decomposição LDL[editar | editar código-fonte]

A decomposição de Cholesky de uma matriz A pode ser obtida através da fatoração A=LDU, onde L é uma matriz triangular inferior, D é uma matriz diagonal e, por A ser uma matriz simétrica e positiva definida, os elementos da diagonal principal de D são positivos, e U = L’, logo podemos escrever A=LD½D½L', onde D½ é uma matriz diagonal cujos elementos são as raízes quadradas dos elementos da matriz D. Fazendo C=LD½, temos a decomposição de Cholesky A=CC'.


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