Formalismo multigaussiano

Formalismo multiGaussiano é um modelo hipotético de caracterização de funções de distribuição de probabilidades de dados experimentais (amostra) o qual admite que essa mesma distribuição pode ser caracterizada pela conjunção de múltiplas distribuições gaussianas. É vulgarmente utilizada na caracterização de fenómenos das ciência da terra e é inclusive adoptada no procedimento de simulação de variáveis espaciais simulação sequencial gaussiana no ramo da geoestatística. A vantagem desta assunção é a simplicidade de implementação. Se para um dado sub-conjunto do conjunto total dos dados experimentais calcularmos a média e variância podemos, efectivamente, caracterizar uma distribuição gaussiana.

Definição

Se admitirmos o conjunto de variáveis aleatórias $\left\{Y(x),x\in A\right\}$ como seguindo uma lei conjunta multigaussiana, qualquer par, $Y(x_{1})$ e $Y(x_{2})$, localizado respectivamente em $x_{1}$ e $x_{2}$, consiste numa distribuição biGaussiana que pode ser caracterizada pela função de covariância $C_{Y}(x_{1},x_{2})$. Deste modo a função de distribuição de probabilidades local (ou condicional - referindo-se a um sub-conjunto do conjunto $Y(x)$) é também gaussiana determinada pela média e variância dessa mesma distribuição local. Assumindo que pretendemos saber a distribuição local num qualquer local no espaço, $x_{0}$, com média e variância:

$E\left\{Y(x_{0})|Y(x_{1},...,Y(x_{N})\right\}$

$var\left\{Y(x_{0})|Y(x_{1},...,Y(x_{N})\right\}$

A gaussiana respectiva seria (Soares, 2006):

$G(x_{0};y)=G\left({\frac {y-E\left\{Y(x_{0})|Y(x_{\alpha },\alpha =1...,N)\right\}}{\sqrt {var\left\{Y(x_{0})|Y(x_{\alpha },\alpha =1...,N)\right\}}}}\right)$

A aplicação deste modelo numa simulação sequêncial gaussiana é feita a partir estimadores da krigagem simples, média e variância (Matheron, 1974):

$G(x_{0};y)=G\left({\frac {y-Y(x_{0})^{*}}{\sigma _{E}^{*}(x_{0})}}\right)$

Aplicação

O método de simulação sequencial gaussiana admite o formalismo multiGaussiano e criando sub-conjuntos a partir de uma distribuição de probabilidades da variável a simular em recurso à média e variância de krigagem. Assim, definindo-se a gaussiana local, podemos gerar um valor aleatório equivalente a essa mesma distribuição.

Discussão

Foram descritas algumas desvantagens na assunção do Formalismo multiGaussiano na simulação de fenómenos espaciais o que veio dar origem à conceptualização da simulação sequencial directa. As desvantagens enunciadas são (Soares, 2006):

• A hipótese de multiGaussianidade não pode ser varificada com base numa só realização do conjunto de variáveis aleatórias.
• A hipótese de biGaussianidade das leis de distribuição de variáveis aleatórias é também uma hipótese que requer verificação dado que pode ou não ser apropriada aos dados experimentais.
• Os padrões de continuidade dos valores extremos não são reproduzidos neste modelo. De facto, após a transformação Gaussiana dos dados experimentais, é calculado e utilizado um só modelo de variograma que reflecte o comportamento médio da variável de estudo. A utilização deste modelo é desaconselhada para a caracterização da continuidade espacial dos valores extremos.
• As variâncias das leis de distribuição de probabilidades locais, dadas pelas variâncias de krigagem, dependem somente da configuração amostral e não dos valores das amostras.

Ver também

• Simulação sequencial gaussiana