Função de demanda Marshalliana
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Em microeconomia, a função de demanda Marshalliana de um consumidor (nomeada em homenagem a Alfred Marshall) é a quantidade que este procura de um determinado bem em função do seu preço, do seu rendimento e dos preços de outros bens, uma exposição mais técnica da função de procura padrão. É uma solução para o problema da maximização da utilidade, que consiste em saber como é que o consumidor pode maximizar a sua utilidade para determinados rendimentos e preços. Um termo sinónimo é função de demanda não compensada, porque quando o preço aumenta o consumidor não é compensado com um rendimento nominal mais elevado pela queda do seu rendimento real, ao contrário do que acontece na função de demanda Hicksiana. Assim, a variação da quantidade procurada é uma combinação de um efeito de substituição e de um efeito de riqueza. Embora a demanda Marshalliana se insira no contexto da teoria do equilíbrio parcial, é por vezes designada por demanda Walrasiana, tal como utilizada na teoria do equilíbrio geral (nomeada em homenagem a Léon Walras).
De acordo com o problema de maximização da utilidade, existem mercadorias com um vetor de preços e um vetor de quantidades selecionáveis . O consumidor tem um rendimento e, por conseguinte, um conjunto de pacotes acessíveis
onde é o produto escalar dos vetores preço e quantidade. O consumidor tem uma função de utilidade
A correspondência Marshalliana da demanda do consumidor é definida como sendo
Preferência revelada[editar | editar código-fonte]
A teoria de Marshall sugere que a procura de utilidade é um fator de motivação para um consumidor que pode ser alcançado através do consumo de bens ou serviços. O montante da utilidade do consumidor depende do nível de consumo de um determinado bem, que está sujeito à tendência fundamental da natureza humana e é descrito como a lei da utilidade marginal decrescente.
Como o máximo de utilidade existe sempre, a correspondência da demanda Marshalliana deve ser não vazia em todos os valores que correspondem ao conjunto de orçamento padrão.
Singularidade[editar | editar código-fonte]
chama-se uma correspondência porque, em geral, pode ter um valor definido - pode haver vários conjuntos diferentes que atinjam a mesma utilidade máxima. Em alguns casos, existe um único conjunto que maximiza a utilidade para cada situação de preço e rendimento. Então é uma função e é chamada de função de demanda Marshalliana .
Se o consumidor tem estritamente preferências convexas e os preços de todos os bens são estritamente positivos, então existe um único cabaz que maximiza a utilidade.[1] Para o provar, suponhamos, por contradição, que existem dois conjuntos diferentes, e que maximizam a utilidade. Depois e são igualmente preferidos. Por definição de convexidade estrita, o conjunto misto é estritamente melhor do que . Mas isto contradiz a otimização de .
Continuidade[editar | editar código-fonte]
O teorema do máximo implica que se:
- A função utilidade é contínua em relação a ,
- A correspondência não é vazio, tem valor compacto e é contínuo em relação a ,
depois é uma correspondência semicontínua superior. Além disso, se é único, então é uma função contínua de e .[2]
Combinando com a subsecção anterior, se o consumidor tiver preferências estritamente convexas, então a demanda marshalliana é única e contínua. Em contrapartida, se as preferências não forem convexas, então a demanda marshalliana pode ser não única e não contínua.
Homogeneidade[editar | editar código-fonte]
A correspondência de demanda Marshalliana ótima de uma função de utilidade contínua é uma função homogénea com grau zero. Isto significa que para cada constante
Isto é intuitivamente claro. Suponhamos que e são medidos em dólares. Quando , e são exatamente as mesmas quantidades medidas em centavos. Quando os preços e a riqueza aumentam por um fator a, o padrão de compra de um agente económico mantém-se constante. Obviamente, a expressão dos preços e do rendimento em unidades de medida diferentes não deve afetar a procura.
Curva de demanda[editar | editar código-fonte]
A teoria de Marshall explora o facto de a curva da procura representar os valores marginais decrescentes de um bem. A teoria insiste no facto de que a decisão de compra do consumidor depende da utilidade de um bem ou serviço em relação ao preço, uma vez que a utilidade adicional que o consumidor ganha deve ser pelo menos igual ao preço. A sugestão seguinte propõe que o preço procurado seja igual ao preço máximo que o consumidor pagaria por uma unidade extra de bem ou serviço. Assim, a utilidade é mantida constante ao longo da curva da procura. Quando a utilidade marginal do rendimento é constante, ou o seu valor é o mesmo para todos os indivíduos numa curva de procura de mercado, é possível gerar benefícios líquidos das unidades compradas, ou excedente do consumidor, através da soma dos preços de procura.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Marginal_utility_and_demand.png/220px-Marginal_utility_and_demand.png)
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Nos exemplos seguintes, existem duas mercadorias, 1 e 2.
1. A função de utilidade tem a forma Cobb – Douglas :
A otimização condicionada conduz à função de procura Marshalliana:
2. A função de utilidade é uma função de utilidade CES :
Então
Em ambos os casos, as preferências são estritamente convexas, a procura é única e a função procura é contínua.
3. A função de utilidade tem a forma linear:
A função de utilidade é apenas fracamente convexa e, de facto, a procura não é única: quando o consumidor pode dividir o seu rendimento em rácios arbitrários entre os tipos de produtos 1 e 2 e obter a mesma utilidade.
4. A função de utilidade exibe uma taxa marginal de substituição não decrescente:
A função de utilidade não é convexa e, de facto, a procura não é contínua: quando , o consumidor procura apenas o produto 1, e quando , o consumidor procura apenas o produto 2 (quando a correspondência da procura contém dois pacotes distintos: ou se compra apenas o produto 1 ou se compra apenas o produto 2).
Referências
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
- Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory Second ed. Hinsdale: Dryden Press. pp. 90–93. ISBN 0-03-020831-9
- Silberberg, E. (2008). Hicksian and Marshallian Demands. London: Palgrave Macmillan, London. ISBN 978-1-349-95121-5
- Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (outubro 2004). «Consumer Theory» (PDF). Consultado em 21 Abril 2021
- Wong, Stanley (2006). Foundations of Paul Samuelson's revealed preference theory (PDF) Revised ed. [S.l.]: Routledge. ISBN 0-203-34983-0. Consultado em 19 Abril 2021