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Em matemática , uma função é dita localmente integrável em um subconjunto
E
{\displaystyle E\,}
pré-compacto de
E
{\displaystyle E\,}
E
{\displaystyle E\,}
L
l
o
c
1
(
E
)
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,}
Seja
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} \,}
função mensurável . Dizemos que
f
∈
L
l
o
c
1
(
E
)
{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,}
E
{\displaystyle E\,}
mensurável de
D
{\displaystyle D\,}
∀
V
⊆
V
¯
⊆
E
{\displaystyle \forall V\subseteq {\overline {V}}\subseteq E\,}
V
¯
{\displaystyle {\overline {V}}\,}
compacto então
f
∈
L
1
(
V
)
{\displaystyle f\in L^{1}(V)\,}
Esta definição pode ser generalizada para os espaços
L
l
o
c
p
(
V
)
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(V)\,}
Se
1
≤
p
<
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty \,}
L
l
o
c
q
(
E
)
⊆
L
l
o
c
p
(
E
)
⊆
L
p
(
E
)
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{q}(E)\subseteq L_{\mathrm {loc} }^{p}(E)\subseteq L^{p}(E)\,}
Exemplo: Sendo
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
∈
L
l
o
c
1
(
R
)
{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} )}
f
∉
L
l
o
c
2
(
R
)
{\displaystyle f\not \in L_{\mathrm {loc} }^{2}(\mathbb {R} )}
