Integração numérica

Integração por retângulos.

Integração pelo método de Simpson.

Integração trapezoidal.

Em matemática, os métodos de integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva. O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste em:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}f(x_{i})\,$

onde $\{\alpha _{i}\}\,$ são coeficientes reais e $\{x_{i}\}\,$ são pontos de $[a,b]\,$.

Ordem de aproximação

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N. EDITEI PQ A ROQUI E VIDA LOKA

Exemplos

• Regra trapezoidal

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}$

• Regra de Simpson:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+4f({\frac {a+b}{2}})+f(b)}{6}}$

Integral	Valor exato	Regra trapezoidal	Regra de Simpson
$\int _{0}^{1}e^{x}dx$	$e-1\simeq 1,7183$	${\frac {1+e}{2}}\simeq 1,8591$	${\frac {1+4e^{1/2}+e}{6}}\simeq 1,7189$
$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$	${\frac {\pi }{4}}\simeq 0,7854$	${\frac {1}{2}}=0,5$	${\frac {1+4{\frac {\sqrt {3}}{2}}+0}{6}}\simeq 0,7440$

Erro de aproximação

Pode-se mostrar que o erro assumido ao integrar uma função diferenciável pelo método trapezoidal é igual a $-{\frac {h^{3}}{12}}f''(x_{0})\,$ onde $X_{0}\,$ é um ponto do intervalo de integração e h é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é $-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(x_{0})\,$.

Métodos compostos

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\int _{a_{i}}^{b_{i}}f(x)dx$

onde $a_{1}=a\,$, $b_{i}=a_{i+1}\,$ e $b_{n}=b\,$. O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.

Exemplos

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação $x_{1}=a\,$, $x_{n}=b\,$ e $x_{n+1}=x_{n}+h\,$.

• Regra trapezoidal composta:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{2}}\left[f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\ldots +f(x_{n})\right]$

• Regra de Simpson composta:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[f(x_{1})+4f(x_{2})+2f(x_{3})+4f(x_{4})+\ldots +4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]$

aqui n deve ser um número ímpar.

Ver também

• Diferenciação numérica