Klein 4

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Em matemática, o Grupo de Klein (conhecido como Klein 4) é o grupo isomorfo a [1]. Com quatro elementos, é o menor grupo não-cíclico. Recebeu o nome Vierergruppe por Felix Klein em 1884. Além de sua aparição na teoria de grupos, temos que o grupo de Klein também surge em outras áreas, como na geometria algébrica.[2]

Tábua da operação definida em um grupo de Klein.

O grupo de Klein é usualmente representado por e cada elemento, operado consigo mesmo, corresponde ao elemento neutro , enquanto a operação entre dois elementos não-neutros distintos resulta no outro elemento não-neutro (por exemplo, ), ou seja, .

Também pode ser visto como o grupo gerado pela diferença simétrica entre as partes de um conjunto de dois elementos. Neste caso, o conjunto vazio é o elemento neutro.

Os elementos do grupo de Klein podem ser permutados. Assim, o grupo de automorfismos do grupo de Klein é isomorfo a , o grupo de permutações entre três elementos.

Geometricamente, em duas dimensões o grupo de Klein corresponde ao grupo de simetria de um losango ou um retângulo propriamente dito, e seus elementos são a identidade, a reflexão vertical, a reflexão horizontal e a rotação de 180°.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que correspondem ao grupo de Klein.

Grupo abelianos de ordem , com primo, são necessariamente abelianos. Além disso, ou são cíclicos ou são produto de dois cíclicos. Assim, para cada primo, há (além de isomorfismos) apenas dois grupos de ordem : um cíclico e o outro é o produto de dois grupos cíclicos de ordem . No caso de , só existem dois grupos de ordem  : o grupo de Klein, que é isomorfo ao produto de cíclicos, e o grupo cíclico de ordem - isomorfos ao grupo .

Seja um grupo multiplicativo. Note que é um grupo abeliano isomorfo ao grupo de Klein, com a multiplicação coordenada a coordenada. Além disso, tomando , temos que vários subgrupos de são isomorfos ao grupo de Klein.[3]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Yartey, Joseph (2017). «Álgebra II» (PDF). Universidade Federal da Bahia. Consultado em 7 de maio de 2020 
  2. Glass, Daren (julho de 2017). «Klein Four Actions on Graphs and Sets». The American Mathematical Monthly. 124. Consultado em 7 de maio de 2020 
  3. Thürey, Volker (20 de março de 2019). «The Klein four-group» (PDF). Consultado em 7 de maio de 2020 

Ver Também[editar | editar código-fonte]