Klein 4

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Em matemática, o Grupo de Klein (conhecido como Klein 4) é o grupo isomorfo a . Com quatro elementos, é o menor grupo não-cíclico. Recebeu o nome Vierergruppe por Felix Klein em 1884.

Tábua da operação definida em um grupo de Klein.

O grupo de Klein é usualmente representado por e cada elemento, operado consigo mesmo, corresponde ao elemento neutro , enquanto a operação entre dois elementos não-neutros distintos resulta no outro elemento não-neutro (por exemplo, ), ou seja,

Também pode ser visto como o grupo gerado pela diferença simétrica entre as partes de um conjunto de dois elementos. Neste caso, o conjunto vazio é o elemento neutro.

Geometricamente, em duas dimensões o grupo de Klein corresponde ao grupo de simetria de um losango ou um retângulo propriamente dito, e seus elementos são a identidade, a reflexão vertical, a reflexão horizontal e a rotação de 180°.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que correspondem ao grupo de Klein.

Grupo abelianos de ordem , com primo, são necessariamente abelianos. Além disso, ou são cíclicos ou são produto de dois cíclicos. Assim, para cada primo, há (além de isomorfismos) apenas dois grupos de ordem : um cíclico e o outro é o produto de dois grupos cíclicos de ordem . No caso de , só existem dois grupos de ordem  : o grupo de Klein, que é isomorfo ao produto de cíclicos, e o grupo cíclico de ordem - isomorfos ao grupo .