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Lei de Morrie é a identidade trigonométrica
cos
(
20
∘
)
⋅
cos
(
40
∘
)
⋅
cos
(
80
∘
)
=
1
8
.
{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}
É um caso especial da identidade geral
2
n
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sen
(
2
n
α
)
sen
(
α
)
{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\operatorname {sen}(2^{n}\alpha )}{\operatorname {sen}(\alpha )}}}
com n = 3 e α = 20° e do fato que
sen
(
160
∘
)
sen
(
20
∘
)
=
sen
(
180
∘
−
20
∘
)
sen
(
20
∘
)
=
1
,
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(160^{\circ })}{\operatorname {sen}(20^{\circ })}}={\frac {\operatorname {sen}(180^{\circ }-20^{\circ })}{\operatorname {sen}(20^{\circ })}}=1,}
pois
sen
(
180
∘
−
x
)
=
sen
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {sen}(180^{\circ }-x)=\operatorname {sen}(x).}
O nome é devido ao físico Richard Feynman , quer referiu-se à identidade com este nome. Feynman usou este nome porque assim o aprendeu durante sua infância de um rapaz chamado Morrie Jacobs, que lembrou por toda sua vida.[ 1]
Uma identidade similar para a função seno também é verificada:
sen
(
20
∘
)
⋅
sen
(
40
∘
)
⋅
sen
(
80
∘
)
=
3
8
.
{\displaystyle \operatorname {sen}(20^{\circ })\cdot \operatorname {sen}(40^{\circ })\cdot \operatorname {sen}(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
Além disso, dividindo a segunda identidade pela primeira resulta:
tan
(
20
∘
)
⋅
tan
(
40
∘
)
⋅
tan
(
80
∘
)
=
3
=
tan
(
60
∘
)
.
{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}
Observando a fórmula do ângulo duplo para a função seno
sen
(
2
α
)
=
2
sen
(
α
)
cos
(
α
)
.
{\displaystyle \operatorname {sen}(2\alpha )=2\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\alpha ).}
Resolvendo para
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
cos
(
α
)
=
sen
(
2
α
)
2
sen
(
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\operatorname {sen}(2\alpha )}{2\operatorname {sen}(\alpha )}}.}
Segue que:
cos
(
2
α
)
=
sen
(
4
α
)
2
sen
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
=
sen
(
8
α
)
2
sen
(
4
α
)
⋮
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sen
(
2
n
α
)
2
sen
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(4\alpha )}{2\operatorname {sen}(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(8\alpha )}{2\operatorname {sen}(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(2^{n}\alpha )}{2\operatorname {sen}(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}
Multiplicando todas estas expressões resulta:
cos
(
α
)
cos
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
⋯
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sen
(
2
α
)
2
sen
(
α
)
⋅
sen
(
4
α
)
2
sen
(
2
α
)
⋅
sen
(
8
α
)
2
sen
(
4
α
)
⋯
sen
(
2
n
α
)
2
sen
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\operatorname {sen}(2\alpha )}{2\operatorname {sen}(\alpha )}}\cdot {\frac {\operatorname {sen}(4\alpha )}{2\operatorname {sen}(2\alpha )}}\cdot {\frac {\operatorname {sen}(8\alpha )}{2\operatorname {sen}(4\alpha )}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(2^{n}\alpha )}{2\operatorname {sen}(2^{n-1}\alpha )}}.}
Os numeradores e denominadores intermediários se cancelam, resultando apenas primeiro denominador, uma potência de 2 e o numerador final. Notar que existem n termos em ambos os lados da expressão. Assim,
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sen
(
2
n
α
)
2
n
sen
(
α
)
,
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\operatorname {sen}(2^{n}\alpha )}{2^{n}\operatorname {sen}(\alpha )}},}
que é equivalente à generalização da lei de Morrie.
Referências
↑ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger , A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 43–44, 1996.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(4\alpha )}{2\operatorname {sen}(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(8\alpha )}{2\operatorname {sen}(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\operatorname {sen}(2^{n}\alpha )}{2\operatorname {sen}(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b964f9a432fd00939f7ac495a907030594a334)
