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Lei dos senos: diferenças entre revisões

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:<math>\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}\,</math>
:<math>\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}\,</math>
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, <math>\frac{x}{sin x} \to 1\,</math>.
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, <math>\frac{x}{sin x} \to 1\,</math>.
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== {{Ver também}} ==
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Revisão das 21h39min de 28 de abril de 2012

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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência de raio r, de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos , e vale a seguinte relação:

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C. Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:

e

em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:

sendo o ângulo entre os vetores e , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esférica

Ver artigo principal: Trigonometria esférica
Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, . aaah para de estudar vai emily, pense na alyne haha

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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