Lema de Jordan

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo.

Definições[editar | editar código-fonte]

Definição 1[editar | editar código-fonte]

Sejam CR uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que quando |z|→, ou seja, [1]

O caminho C é a concatenação dos caminhos C 1 e C 2.

Definição 2[editar | editar código-fonte]

Consideremos a integral :, com ΓR = {Z=Re, 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma : Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈ΓR tende a zero quando R tende ao infinito então:

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.

Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função convenientes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Por definição:

Utilizando e a simetria sin θ = sin(πθ), temos:

De fato o sin θ é concavo neste intervalo θ ∈ [0,π /2], logo, o gráfico sin θ estará acima da linha, consequentemente

portanto, como , temos:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Calcule a seguinte integral:

Resolução

Seja a função:

Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)

Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...

E, por f ser de polo simples

Assim,

Utilizando o lema de jordan, quando R →, temos

,pela substituição z = R e (lembrando que e = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)

Contudo, quando R →:

Notas e Referências

  • E. Capela de Oliveira; A. Rodrigues Jr. (1999). Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações (Campinas - SP: Imecc [s.n.]). p. 284p. ISBN 85-87185-02-0. 
  • Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Variáveis Complexas e Aplicações 7ª ed. (New York: McGraw Hill). p. 262–265. ISBN 0-07-287252-7.