Lemniscata de Bernoulli
A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:
A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,
pelas respectivas coordenadas bipolares,
ou pela equação paramétrica:
- Coordenadas bipolares
A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ().
A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante[1]. A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.
Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).
Derivadas
[editar | editar código-fonte]Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.
Com em função de
[editar | editar código-fonte]Com em função de
[editar | editar código-fonte]Curvatura
[editar | editar código-fonte]Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:
O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.
Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas
[editar | editar código-fonte]A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou às integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae".
Seção
[editar | editar código-fonte]É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina uma Lemniscata no contorno da seção[2].
Referências
- ↑ Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982, p. 316
- ↑ [1], Imagem, acessada em 08-07-2011