Método de Numerov é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária de segunda ordem cujo termo de derivada de primeira ordem não aparece. Este método é implícito, mas se torna explícito quando equação diferencial é linear (Métodos explícitos e implícitos).
O Método de Numerov foi desenvolvido por Boris Vasil'evich Numerov
O Método de Numerov é usado para resolver equações diferenciais da seguinte forma:
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+f(x)\right)y(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69dc5af8fb0933d2420d510b6b3861a66aacb39)
A função
é definida no intervalo [a,b] em pontos equidistantes
. Começando por dois valores da função consecutivos
e
os remanescentes podem ser calculados por:
![{\displaystyle y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ef94e7ee5b6d3c688bd8de0a74f065a656018e)
onde
e
são os valores da função no ponto
e
é a distância entre dois pontos consecutivos.
Para equações não-lineares de forma
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=f(t,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d962394991a7402f33928b76690cd3297f198457)
o método é dado por
![{\displaystyle y_{n+1}=2y_{n}-y_{n-1}+{\tfrac {1}{12}}h^{2}(f_{n+1}+10f_{n}+f_{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7aaead4a4b14621a9ccdcb248b11b927a74b6a)
Este método é implícito que se torna explícito como dito anteriormente se a função f é linear em y. A ordem no problema é 4. (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.10).
Em física numérica uma das aplicações deste método é na resolução da Equação de Schrödinger radial para potenciais arbitrários
![{\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\left({\frac {1}{r}}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}r-{l(l+1) \over r^{2}}\right)+V(r)\right]R(r)=ER(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641374561c4e0fb8d82e83f88b8bb96b6a35c3e4)
que pode ser reescrita na forma
![{\displaystyle \left[{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}-{l(l+1) \over r^{2}}+{2\mu \over \hbar ^{2}}\left(E-V(r)\right)\right]u(r)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600b5d711ae8aabab243f01e2d38a645fac7be18)
com
. Comparando esta equação com a definição do método de Numerov encontra-se
![{\displaystyle f(x)={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebec033645928a09b5c06a05b9a4c3081bf73c7f)
e então é possível resolver numericamente a Equação radial de Schrödinger.
Expandindo por Série de Taylor
em torno de
:
![{\displaystyle y(x)=y(x_{0})+(x-x_{0})y'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496a5809c07da216ed5319f91449ae5309a33c99)
Fazendo
a distância entre
e
, e invertendo
, pode-se escrever a equação acima como
![{\displaystyle y(x_{0}+h)=y(x_{0})+hy'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c026affa4264c5f9933ad9b0f900049a8acf42e)
Computacionalmente, isto significa dar um passo a frente iterativamente, se quisermos dar uma passo para trás, substitui-se todo h por -h para a equação
:
![{\displaystyle y(x_{0}-h)=y(x_{0})-hy'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{0})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{0})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352cc4fc3fb77a02ba4b34a9642891c2f36b92af)
Este rearranjo causou uma mudança no sinal. Em pontos igualmente espaçados, o enésimo ponto corresponde a
se o espaço entre pontos adjacentes for h (com h pequeno para haver precisão). A equação discreta para
e
fica
![{\displaystyle y_{n+1}=y(x_{n}+h)=y(x_{n})+hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51903b1172f373bcc60bda663914a0632cfe2ca4)
![{\displaystyle y_{n-1}=y(x_{n}-h)=y(x_{n})-hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b3ef38f20b756eff316982ec4bd51d9b005000)
A soma das duas equações resulta em
![{\displaystyle y_{n-1}+y_{n+1}=2y_{n}+{h^{2}}y''_{n}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9d3dda769cccf6accdba0d474ab304c782e71c)
Resolvendo a equação para
substituindo-o pela expressão
obtida da definição de equação diferencial
![{\displaystyle h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f85347ed104d4d70c1144c304b86e0c9c6c96d3)
Toma-se a derivada segunda da definição da nossa equação diferencial e obtemos
![{\displaystyle y''''(x)=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5707215812240f070ab4c611c75258cc3145d8f9)
Substituindo a derivada segunda
pelo Coeficiente diferencial de segunda ordem para
(toma-se a diferença para frente e para trás juntas, não difereça para frente dupla ou diferença para trás dupla)
![{\displaystyle h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}-{\frac {h^{4}}{12}}{\frac {f_{n-1}y_{n-1}-2f_{n}y_{n}+f_{n+1}y_{n+1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1275edaab8a62777bc39e55ea31e3bad57c42a7b)
Rearranjando a equação e isolando
obtém-se
![{\displaystyle y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}+{\mathcal {O}}(h^{6}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3854565527618425e4f1d5bb35ea60fe3a94dbd)
O método de Numerov é obtido se ignorarmos o termo
e a ordem de convergência, assumindo estabilidade, é 4.
- Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (em inglês). Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0 .
Este livro inclui as seguintes referências:
- Numerov, Boris Vasil'evich (1924). «A method of extrapolation of perturbations». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (em inglês). 84: 592–601. Bibcode:1924MNRAS..84..592N
- Numerov, Boris Vasil'evich (1927). «Note on the numerical integration of d2x/dt2 = f(x,t)». 359–364. Astronomische Nachrichten (em inglês). 230. Bibcode:1927AN....230..359N