Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em econometria de séries temporais , Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.
O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor
y
t
{\displaystyle y_{t}}
[ 1]
L
i
y
t
=
y
t
−
i
{\displaystyle \,L^{i}y_{t}=y_{t-i}\,}
L
i
=
y
t
−
i
y
t
{\displaystyle L^{i}={\frac {y_{t-i}}{y_{t}}}}
onde
L
i
{\displaystyle L^{i}}
y
t
{\displaystyle y_{t}}
As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem
"i"pode assumir qualquer valor inteiro. Se assumir valor negativo, representa períodos à frente e não para trás:
L
2
y
t
=
y
t
−
2
{\displaystyle \,L^{2}y_{t}=y_{t-2}\,}
L
−
3
y
t
=
y
t
+
3
{\displaystyle \,L^{-3}y_{t}=y_{t+3}\,}
A defasagem de uma constante "c" é a constante:
L
c
=
c
{\displaystyle \,Lc=c\,}
[ 1]
Distributiva:
(
L
i
+
L
j
)
⋅
y
t
=
L
i
y
t
+
L
j
y
t
=
y
t
−
i
+
y
t
−
j
{\displaystyle \left(L^{i}+L^{j}\right)\cdot y_{t}=L^{i}y_{t}+L^{j}y_{t}=y_{t-i}+y_{t-j}}
[ 1]
Associativa da multiplicação :
L
i
⋅
L
j
⋅
y
t
=
L
i
⋅
(
L
j
y
t
)
=
L
i
⋅
y
t
−
j
=
y
t
−
i
−
j
{\displaystyle L^{i}\cdot L^{j}\cdot y_{t}=L^{i}\cdot \left(L^{j}y_{t}\right)=L^{i}\cdot y_{t-j}=y_{t-i-j}}
[ 1] Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença [ 1]
Por exemplo, seja a equação de ordem "p"[ 1]
y
t
=
a
0
+
a
1
⋅
y
t
−
1
+
a
2
⋅
y
t
−
2
+
.
.
.
+
a
p
⋅
y
t
−
p
+
ε
t
{\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}\cdot y_{t-1}+a_{2}\cdot y_{t-2}+...+a_{p}\cdot y_{t-p}+\varepsilon _{t}}
Colocando todos os termos
y
t
−
i
{\displaystyle y_{t-i}}
equação e os demais para o lado direito, temos:
y
t
−
a
1
⋅
y
t
−
1
−
a
2
⋅
y
t
−
2
−
.
.
.
−
a
p
⋅
y
t
−
p
=
a
0
+
ε
t
{\displaystyle y_{t}-a_{1}\cdot y_{t-1}-a_{2}\cdot y_{t-2}-...-a_{p}\cdot y_{t-p}=a_{0}+\varepsilon _{t}}
Colocando
y
t
{\displaystyle y_{t}}
[
1
−
a
1
y
t
−
1
y
t
−
a
2
y
t
−
2
y
t
−
.
.
.
−
a
p
y
t
−
p
y
t
]
y
t
=
a
0
+
ε
t
{\displaystyle \left[1-a_{1}{\frac {y_{t-1}}{y_{t}}}-a_{2}{\frac {y_{t-2}}{y_{t}}}-...-a_{p}{\frac {y_{t-p}}{y_{t}}}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}
Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:
[
1
−
a
1
L
−
a
2
L
2
−
.
.
.
−
a
p
L
p
]
y
t
=
a
0
+
ε
t
{\displaystyle \left[1-a_{1}L-a_{2}L^{2}-...-a_{p}L^{p}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}
ou, de maneira ainda mais compacta,
A
(
L
)
y
t
=
a
0
+
B
(
L
)
ε
t
{\displaystyle A\left(L\right)y_{t}=a_{0}+B\left(L\right)\varepsilon _{t}}
onde
A
(
L
)
{\displaystyle A\left(L\right)}
polinômio do operador defasagem. A notação
A
(
1
)
{\displaystyle A\left(1\right)}
soma dos coeficientes:
A
(
1
)
=
1
−
a
1
−
a
2
−
.
.
.
−
a
p
{\displaystyle A\left(1\right)=1-a_{1}-a_{2}-...-a_{p}}
↑ a b c d e f ENDERS, Walter. Applied Econometric Time Series . Second Edition. Wiley series in probability and statistics. ISBN 0-471-23065-0
![{\displaystyle \left[1-a_{1}{\frac {y_{t-1}}{y_{t}}}-a_{2}{\frac {y_{t-2}}{y_{t}}}-...-a_{p}{\frac {y_{t-p}}{y_{t}}}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9bf6ab84655091978adcb8fd2ebf89c8c2a80f)
![{\displaystyle \left[1-a_{1}L-a_{2}L^{2}-...-a_{p}L^{p}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803cf20d47e1d68bf23b896040308a63e59ca8c2)
