Paradoxo do elevador

O paradoxo do elevador é um paradoxo notado primeiramente por Marvin Stern e George Gamow, físicos que tinham escritórios em andares diferentes de um prédio com muitos andares. Gamow, que tinha um escritório perto da parte de baixo do prédio notou que o primeiro elevador a parar no andar dele ia, na maioria das vezes, para baixo; enquanto Stern, que tinha um escritório mais alto, notou que o primeiro elevador a parar no andar dele ia mais frequentemente para cima.

No primeiro sinal, isso criou uma impressão de que talvez os elevadores estavam sendo manufaturados no meio do prédio e mandado para cima até o teto e para baixo até o subsolo para ser desmontado. Claramente, esse não era o caso. Mas como esta observação poderia ser explicada?

Modelando o problema do elevador

Perto da cobertura, os elevadores para cima descem depois de subir.

Diversas tentativas (começando com Gamow e Stern) foram feitas com intuito de analisar a razão desse fenômeno: a análise básica é simples, enquanto a análise detalhada é mais difícil do que possa, de primeiro, parecer.

Simplesmente, se um elevador está no topo do prédio, todos os elevadores virão de baixo (nenhum pode vir de cima), e então partem para baixo, enquanto se um está no penúltimo andar, um elevador indo pro topo irá passar primeiro na subida e, pouco tempo depois, na descida - daí, enquanto um número igual passará para cima e para baixo, nos andares de baixo, os elevadores vão geralmente seguir os elevadores de cima (a menos que o elevador fique pairando sob o último andar), e daí o primeiro elevador observado vai usualmente estar subindo. O primeiro elevador observado estará descendo somente se for observado num pequeno instante depois que um elevador passar subindo, enquanto o resto do tempo o primeiro elevador observado estará subindo.

Em mais detalhes, a explicação é o que segue: um único elevador passa a maior parte de seu tempo na maior seção do prédio, e daí é mais provável que se aproxime daquela direção quando o futuro usuário do elevador chegar. Um observador que fique perto das portas dos elevadores por horas ou dias, observando todo elevador que chega, em vez de observar somente o primeiro a chegar, irá notar um número igual de elevador transladando-se em cada direção. Isso então se torna um problema de amostra — o observador é uma amostra estocástica num intervalo não uniforme.

Para ajudar a visualização disso, considere um prédio de 30 andares, mais um térreo e apenas um elevador lento. O elevador é tão lendo porque ele para em todos os andares quando está subindo, e também para em todos os andares quando está descendo. Leva um minuto para passar entre os andares e esperar por passageiros. Aqui está os horários de chegada dos azarados que trabalham neste prédio; como descrito acima, se forma uma onda triangular:

Adar	Tempo na subida	Tempo na descida
Térreo	8:00, 9:00, ...	n/a
1° andar	8:01, 9:01, ...	8:59, 9:59, ...
2° andar	8:02, 9:02, ...	8:58, 9:58, ...
...	...	...
29° andar	8:29, 9:29, ...	8:31, 9:31, ...
30° andar	n/a	8:30, 9:30, ...

Se você estivesse no primeiro andar e entrasse aleatoriamente no elevador, as chances são do próximo elevador estar descendo. O próximo elevador estaria subindo somente durante os primeiros dois minutos de cada hora, ex., de 9:00 e 9:01. O número de paradas com o elevador subindo e descendo é o mesmo, mas a probabilidade do próximo elevador estar subindo é somente 2 em 60.

Um efeito semelhante pode ser observado em estações ferroviárias onde uma estação próxima ao fim da linha irá, mais provavelmente, receber o próximo trem que está na direção do fim da linha. Outra visualização é imaginar-se sentado em assentos próximos a um dos fins de uma pista de corrida oval: se você está esperando que um único carro passe na sua frente, será mais provável que ele passe no caminho antes de entrar na curva.

Mais de um elevador

Curiosamente, se existir mais de um elevador em um prédio, a tendência diminui — pois existe uma chance maior que o passageiro chegue no térreo durante o tempo de pelo menos um elevador estar abaixo deles; com um número infinito de elevadores, as probabilidades seriam iguais.

No exemplo acima, se existem 30 andares de 58 elevadores, então a cada minuto haveria dois elevadores em cada andar, um subindo e um descendo (exceto pelos primeiro andar e último andar), a tendência é eliminada - a cada minuto, um elevador chega indo pra cima, e outro indo pra baixo. Isso também ocorre com 30 elevadores espaçados de 2 minutos - em andares ímpares eles alternam o sentido da chegada, enquanto em andares pares eles chegam juntos a cada dois minutos.

Assistir aos carros passando numa pista de corrida de forma oval, percebe-se uma pequena tendência se o tempo entre os carros é pequeno comparado ao tempo requisitado para um carro retornar ao campo de visão do observador.

O caso real

Em um prédio real, existem fatores complicados como a tendência do elevador a serem frequentemente requisitados no primeiro andar ou no mezanino, e para retornar lá quando ocioso. Esses fatores tendem a mudar a frequência das chegadas observadas, mas não eliminam inteiramente o paradoxo. Em particular, um usuário muito próximo ao andar do topo irá perceber o paradoxo ainda mais forte, pois os elevadores não são tão frequentemente acionados a cima do andar dele.

Há outras complicações em um prédio real, assim como uma demanda assimétrica onde todo mundo quer descer no fim do dia; a maneira com que elevadores lotados queimam algumas paradas extras; ou o efeito de viagens curtas que deixam o elevador ocioso. Essas complicações tornam o paradoxo mais difícil de se observar do que os exemplos da pista de corrida.

Cultura Popular

O paradoxo do elevador foi mencionado por Charlie Eppes na série de TV Numb3rs No episódio intitulado "Chinese Box".