Paradoxos de Zenão

Os paradoxos de Zeno (ou de Zenão), atribuídos ao filósofo pré-socrático Zenão de Eléia, são argumentos utilizados para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade, divisibilidade e movimento. Através de um método dialético que antecipou Sócrates, Zeno procurava, partindo das premissas de seus oponentes, reduzi-las ao absurdo e com isso sustentar o ponto de fé dos eleáticos e de seu mestre Parmênides, que ia contra as idéias pitagóricas. Como em outros pré-socráticos, não possuímos na atualidade nenhuma obra completa de Zeno, sendo as fontes principais para os seus paradoxos as citações na obra de Aristóteles e do comentador aristotélico Simplício.

Argumentos contra o movimento

Aristóteles escreve na Física, 239b9 (DK29A25) que Zeno enunciou quatro argumentos contra o movimento, conhecidos como os paradoxos do estádio, de Aquiles e a tartaruga, da flecha voando e das filas em movimento.

Dicotomia

Imagine um atleta querendo correr uma distância de 60m, para chegar no final do percurso ele primeiro terá que passar no ponto que corresponde a 1/2 (metade) do percurso, depois no próximo ponto que corresponde a 2/3 do percurso, depois 3/4 do percurso, para assim chegar a 4/5 do percurso e depois 5/6 do percurso e depois 30/31 do percurso ao ponto correspondente a 199/200 e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,9893798 metros), tendendo assim a ser um número infinito de pontos antes que o corredor chegue ao final.

Como o infinito é uma abstração matemática que significa algo que não tem limite, o atleta jamais conseguiria chegar ao final do percurso (60 metros), pois ele teria que percorrer infinitos pontos para chegar a um final, se ele chegasse ao fim depois de percorrer o infinito, significaria que este infinito tem um fim, como isto não é possivel, gera assim o paradoxo.

"O problema por trás da Dicotomia, que é o mesmo que o do Aquiles, parece repousar na intuição de que o corredor demora um tempo finito mínimo para percorrer cada intervalo espacial sucessivo. Como há infinitos desses intervalos, o tempo de transcurso seria infinito. Porém, sabemos que essa intuição é errônea: o tempo de percurso por cada intervalo é proporcional ao comprimento do intervalo (supondo velocidade constante). Esse ponto foi apontado por Aristóteles (Física VI, 233a25), mas em outro trecho ele se confundiu com relação à presença de infinitos intervalos finitos de tempo (Física VIII, 263a15). Da mesma maneira que os intervalos espaciais somam 1 na série convergente, os intervalos temporais também o fazem. O corredor acaba completando o percurso!"

Aquiles e a tartaruga

É contado sob a forma de uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga.

Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando corrida um trecho na frente da linha de largada de Aquiles.

Aquiles nunca sobrepassa à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial A da tartaruga, esta encontra-se mais a frente, numa outra posição B. Quando Aquiles chegar a B, a tartaruga não está mais lá, pois avançou para uma nova posição C, e assim sucessivamente, ad infinitum.

Em termos matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e Aquiles tendendo a 0, do espaço de Aquiles, é a tartaruga. Ou seja, ele virtualmente alcança a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la.

Incoerências do paradoxo

Ao se afirmar que, por tal argumento explícito acima, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, Zeno desconsidera qualquer reflexão sobre o que é o tempo. A conclusão de que a tartaruga sempre estará a frente se sustenta sobre o argumento de infinitos deslocamentos simultâneos, de Aquiles e da tartaruga, mas que representam sempre um décimo em relação ao deslocamento anterior. Analogamente, o tempo transcorrido para cada deslocamento irá ser de um décimo do tempo do deslocamento anterior. Logo, tem-se que o tempo transcorrido é uma progressão geométrica de razão inferior a "um", o que significa que somando-se os infinitos intervalos de tempo dessa progressão, haverá um valor limite ao qual o somatório converge. Encontra-se, então, uma incoerência no paradoxo, porque ele define que a tartaruga nunca será alcançada, porém a análise temporal demonstra que isto acontecerá apenas neste intervalo de tempo fixo.

Supondo agora uma extensão da mecânica quântica (ainda em discussão na comunidade científica) na qual o tempo pode ser caracterizado por unidades mínimas indivisíveis, o paradoxo perde sua lógica à medida que os intervalos de tempo se aproximam da unidade fundamental, na qual o valor absoluto da velocidade de Aquiles é superior a da tartaruga, e consequentemente haverá a ultrapassagem, tornando Aquiles o vencedor da corrida.

Finito X Infinito

A solução clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência de séries numéricas. O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga. No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga.