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No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.[ 1]
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.[ 2]
Prova :
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
⋅
(
a
+
b
)
=
a
⋅
(
a
+
b
)
+
b
⋅
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Exemplos :
(
4
x
5
y
+
z
)
2
=
(
4
x
5
y
+
z
)
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
=
4
x
5
y
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
+
z
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
=
16
x
2
25
y
2
+
4
x
z
5
y
+
4
x
z
5
y
+
z
2
=
16
x
2
25
y
2
+
8
x
z
5
y
+
z
2
{\displaystyle \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)^{2}=\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {4x}{5y}}\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)+z\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+z^{2}={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}}
(
8
x
+
a
)
2
=
(
8
x
+
a
)
⋅
(
8
x
+
a
)
=
8
x
⋅
(
8
x
+
a
)
+
a
⋅
(
8
x
+
a
)
=
64
x
2
+
8
a
x
+
8
a
x
+
a
2
=
64
x
2
+
16
a
x
+
a
2
{\displaystyle (8x+a)^{2}=(8x+a)\cdot (8x+a)=8x\cdot (8x+a)+a\cdot (8x+a)=64x^{2}+8ax+8ax+a^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo, subtraído o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.
Prova :
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
(
a
−
b
)
−
b
⋅
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
a
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot (a-b)-b\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Exemplos :
(
3
m
4
n
−
p
)
2
=
9
m
2
16
n
2
−
3
m
p
2
n
+
p
2
{\displaystyle \left({\frac {3m}{4n}}-p\right)^{2}={\frac {9m^{2}}{16n^{2}}}-{\frac {3mp}{2n}}+p^{2}}
(
1
−
2
x
)
2
=
1
−
4
x
+
4
x
2
{\displaystyle (1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}}
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo.
Prova :
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
+
a
b
−
b
2
=
a
2
+
a
b
⋅
(
1
−
1
)
−
b
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}+ab\cdot (1-1)-b^{2}=a^{2}-b^{2}}
Exemplos :
(
a
2
+
b
3
)
⋅
(
a
2
−
b
3
)
=
a
4
−
a
2
b
3
+
a
2
b
3
−
b
6
=
a
4
+
a
2
b
3
⋅
(
1
−
1
)
−
b
6
=
a
4
−
b
6
{\displaystyle (a^{2}+b^{3})\cdot (a^{2}-b^{3})=a^{4}-a^{2}b^{3}+a^{2}b^{3}-b^{6}=a^{4}+a^{2}b^{3}\cdot (1-1)-b^{6}=a^{4}-b^{6}}
(
a
x
+
2
)
.
(
a
x
−
2
)
=
a
2
x
2
−
2
a
x
+
2
a
x
−
4
=
a
2
x
2
+
2
a
⋅
(
1
−
1
)
x
−
4
=
a
2
x
2
−
4
{\displaystyle \left({\frac {a}{x}}+2\right).\left({\frac {a}{x}}-2\right)={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-{\frac {2a}{x}}+{\frac {2a}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+{\frac {2a\cdot (1-1)}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-4}
Decomposição volumétrica do binômio ao cubo
Regra básica : O cubo do primeiro termo, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, somado ao cubo do segundo termo.
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
Exemplos :
(
m
+
3
n
)
3
=
m
3
+
3
⋅
m
2
⋅
3
n
+
3
⋅
m
⋅
(
3
n
)
2
+
(
3
n
)
3
=
m
3
+
9
m
2
n
+
27
m
n
2
+
27
n
3
{\displaystyle (m+3n)^{3}=m^{3}+3\cdot m^{2}\cdot 3n+3\cdot m\cdot (3n)^{2}+(3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}}
(
x
+
2
)
3
=
x
3
+
6
x
2
+
12
x
+
8
{\displaystyle (x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8}
(
a
+
3
b
)
3
=
a
3
+
9
a
2
b
+
27
a
b
2
+
27
b
3
{\displaystyle (a+3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}}
(
a
−
b
)
3
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
2
a
2
b
+
a
b
2
−
a
2
b
+
2
a
b
2
−
b
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
{\displaystyle (a-b)^{3}=(a-b)\cdot (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a^{2}-2ab+b^{2})=a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
Regra básica : Para calcular o cubo da diferença faça: O cubo do 1° termo, subtraído o triplo do produto do quadrado do 1° termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, subtraído o cubo do 2° termo.
Exemplos :
(
b
−
2
c
)
3
=
b
3
−
6
b
2
c
+
12
b
c
2
−
8
c
3
{\displaystyle (b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}}
(
x
y
−
a
b
)
3
=
x
3
y
3
−
3
a
x
2
b
y
2
+
3
a
2
x
b
2
y
−
a
3
b
3
{\displaystyle \left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}}
(
1
−
x
)
3
=
1
−
3
x
+
3
x
2
−
x
3
{\displaystyle (1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
a
b
+
a
c
+
b
2
+
a
b
+
b
c
+
a
c
+
b
c
+
c
2
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+ab+ac+b^{2}+ab+bc+ac+bc+c^{2}}
→
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle \rightarrow (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
Exemplos :
(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
2
x
y
+
2
x
z
+
2
y
z
{\displaystyle (x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz}
(
x
−
2
y
−
3
)
2
=
x
2
+
(
−
2
y
)
2
+
(
−
3
)
2
+
2
x
(
−
2
y
)
+
2
x
(
−
3
)
+
2
(
−
2
y
)
(
−
3
)
{\displaystyle (x-2y-3)^{2}=x^{2}+(-2y)^{2}+(-3)^{2}+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)}
(
5
x
+
4
y
+
15
z
)
2
=
25
x
2
+
16
y
2
+
225
z
2
+
40
x
y
+
75
x
z
+
60
y
z
{\displaystyle (5x+4y+15z)^{2}=25x^{2}+16y^{2}+225z^{2}+40xy+75xz+60yz}
Considerando o produto notável
(
x
+
a
)
⋅
(
x
+
b
)
,
{\displaystyle (x+a)\cdot (x+b),}
(
x
+
a
)
⋅
(
x
+
b
)
=
x
⋅
(
x
+
b
)
+
a
⋅
(
x
+
b
)
=
x
2
+
b
x
+
a
x
+
a
b
⇒
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
{\displaystyle (x+a)\cdot (x+b)=x\cdot (x+b)+a\cdot (x+b)=x^{2}+bx+ax+ab\Rightarrow x^{2}+(a+b)x+ab}
Exemplos :
(
x
+
4
)
⋅
(
x
+
3
)
=
x
2
+
(
4
+
3
)
⋅
x
+
4
⋅
3
=
x
2
+
7
x
+
12
{\displaystyle (x+4)\cdot (x+3)=x^{2}+(4+3)\cdot x+4\cdot 3=x^{2}+7x+12}
(
x
−
2
)
⋅
(
x
−
6
)
=
x
2
+
(
−
2
−
6
)
⋅
x
+
(
−
2
)
⋅
(
−
6
)
=
x
2
−
8
x
+
12
{\displaystyle (x-2)\cdot (x-6)=x^{2}+(-2-6)\cdot x+(-2)\cdot (-6)=x^{2}-8x+12}
(
x
−
1
)
⋅
(
x
+
5
)
=
x
2
+
(
−
1
+
5
)
⋅
x
+
5
⋅
(
−
1
)
=
x
2
+
4
x
−
5
{\displaystyle (x-1)\cdot (x+5)=x^{2}+(-1+5)\cdot x+5\cdot (-1)=x^{2}+4x-5}
equações polinomiais .
Prova : Assumindo uma equação polinomial de grau 2 podemos escrevê-la como:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
x
2
−
x
⋅
(
x
1
+
x
2
)
+
x
1
x
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-x\cdot (x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=0}
Onde a segunda pode ser fatorada como
(
x
−
x
1
)
⋅
(
x
−
x
2
)
=
0
{\displaystyle (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0}
a
⋅
(
x
−
x
1
)
⋅
(
x
−
x
2
)
=
0
{\displaystyle a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0}
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
b
3
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}}
Prova : Considerando
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
,
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2}),}
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
+
a
2
b
−
a
b
2
+
b
3
=
a
3
+
b
3
.
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.}
(
x
+
5
)
⋅
(
x
2
−
5
x
+
25
)
=
x
3
+
5
3
=
x
3
+
125
{\displaystyle (x+5)\cdot (x^{2}-5x+25)=x^{3}+5^{3}=x^{3}+125}
(
2
x
+
3
)
⋅
(
4
x
2
−
6
x
+
9
)
=
(
2
x
)
3
+
3
3
=
8
x
3
+
27
{\displaystyle (2x+3)\cdot (4x^{2}-6x+9)=(2x)^{3}+3^{3}=8x^{3}+27}
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}}
Prova : Considerando
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
,
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2}),}
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
a
2
b
−
a
b
2
−
a
2
b
+
a
b
2
−
b
3
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b-ab^{2}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}}
Exemplo
(
x
−
3
)
⋅
(
x
2
+
3
x
+
9
)
=
x
3
−
3
3
=
x
3
−
27
{\displaystyle (x-3)\cdot (x^{2}+3x+9)=x^{3}-3^{3}=x^{3}-27}
Notas e referências Equação Polinomial
Referências
