Produtos notáveis

No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.

Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

• Exemplos:
  1. $\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)^{2}=\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {4x}{5y}}\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)+z\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+z^{2}={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}$$\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)^{2}=\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {4x}{5y}}\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)+z\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+z^{2}={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}$
  2. $(8x+a)^{2}=(8x+a)\cdot (8x+a)=8x\cdot (8x+a)+a\cdot (8x+a)=64x^{2}+8ax+8ax+a^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}$$(8x+a)^{2}=(8x+a)\cdot (8x+a)=8x\cdot (8x+a)+a\cdot (8x+a)=64x^{2}+8ax+8ax+a^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}$

Quadrado da diferença de dois termos

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, subtraído o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot (a-b)-b\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot (a-b)-b\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

• Exemplos:
  1. $\left({\frac {3m}{4n}}-p\right)^{2}={\frac {9m^{2}}{16n^{2}}}-{\frac {3mp}{2n}}+p^{2}$$\left({\frac {3m}{4n}}-p\right)^{2}={\frac {9m^{2}}{16n^{2}}}-{\frac {3mp}{2n}}+p^{2}$
  2. $(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}$$(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}$

Produto da soma pela diferença de dois termos

Regra básica: Quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}+ab\cdot (1-1)-b^{2}=a^{2}-b^{2}$$(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}+ab\cdot (1-1)-b^{2}=a^{2}-b^{2}$

• Exemplos:
  1. $(a^{2}+b^{3})\cdot (a^{2}-b^{3})=a^{4}-a^{2}b^{3}+a^{2}b^{3}-b^{6}=a^{4}+a^{2}b^{3}\cdot (1-1)-b^{6}=a^{4}-b^{6}$$(a^{2}+b^{3})\cdot (a^{2}-b^{3})=a^{4}-a^{2}b^{3}+a^{2}b^{3}-b^{6}=a^{4}+a^{2}b^{3}\cdot (1-1)-b^{6}=a^{4}-b^{6}$
  2. $\left({\frac {a}{x}}+2\right).\left({\frac {a}{x}}-2\right)={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-{\frac {2a}{x}}+{\frac {2a}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+{\frac {2a\cdot (1-1)}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-4$$\left({\frac {a}{x}}+2\right).\left({\frac {a}{x}}-2\right)={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-{\frac {2a}{x}}+{\frac {2a}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+{\frac {2a\cdot (1-1)}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-4$

Cubo da soma de dois termos

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo

Regra básica: O cubo do primeiro termo, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, somado ao cubo do segundo termo.

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

• Exemplos:
  1. $(m+3n)^{3}=m^{3}+3\cdot m^{2}\cdot 3n+3\cdot m\cdot (3n)^{2}+(3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}$$(m+3n)^{3}=m^{3}+3\cdot m^{2}\cdot 3n+3\cdot m\cdot (3n)^{2}+(3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}$
  2. $(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8$$(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8$
  3. $(a+3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$$(a+3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$

Cubo da diferença de dois termos

$(a-b)^{3}=(a-b)\cdot (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a^{2}-2ab+b^{2})=a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$$(a-b)^{3}=(a-b)\cdot (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a^{2}-2ab+b^{2})=a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Regra básica: Para calcular o cubo da diferença faça: O cubo do 1° termo, subtraído o triplo do produto do quadrado do 1° termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, subtraído o cubo do 2° termo.

• Exemplos:
  1. $(b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}$$(b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}$
  2. $\left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}$$\left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}$
  3. $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$$(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$

Quadrado da soma de três termos

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+ab+ac+b^{2}+ab+bc+ac+bc+c^{2}$$(a+b+c)^{2}=a^{2}+ab+ac+b^{2}+ab+bc+ac+bc+c^{2}$

$\rightarrow (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$$\rightarrow (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

• Exemplos:
  1. $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz$$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz$
  2. $(x-2y-3)^{2}=x^{2}+(-2y)^{2}+(-3)^{2}+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)$$(x-2y-3)^{2}=x^{2}+(-2y)^{2}+(-3)^{2}+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)$
  3. $x^{2}+4y^{2}+9-4xy-6x+12y$$x^{2}+4y^{2}+9-4xy-6x+12y$

Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum)

Considerando o produto notável $(x+a)\cdot (x+b),$$(x+a)\cdot (x+b),$ temos:

$(x+a)\cdot (x+b)=x\cdot (x+b)+a\cdot (x+b)=x^{2}+bx+ax+ab\Rightarrow x^{2}+(a+b)x+ab$$(x+a)\cdot (x+b)=x\cdot (x+b)+a\cdot (x+b)=x^{2}+bx+ax+ab\Rightarrow x^{2}+(a+b)x+ab$

• Exemplos:
  1. $(x+4)\cdot (x+3)=x^{2}+(4+3)\cdot x+4\cdot 3=x^{2}+7x+12$$(x+4)\cdot (x+3)=x^{2}+(4+3)\cdot x+4\cdot 3=x^{2}+7x+12$
  2. $(x-2)\cdot (x-6)=x^{2}+(-2-6)\cdot x+(-2)\cdot (-6)=x^{2}-8x+12$$(x-2)\cdot (x-6)=x^{2}+(-2-6)\cdot x+(-2)\cdot (-6)=x^{2}-8x+12$
  3. $(x-1)\cdot (x+5)=x^{2}+(-1+5)\cdot x+5\cdot (-1)=x^{2}+4x-5$$(x-1)\cdot (x+5)=x^{2}+(-1+5)\cdot x+5\cdot (-1)=x^{2}+4x-5$

Este tipo de produto notável pode ser usado para resolver equações polinomiais.

• Prova: Assumindo uma equação polinomial de grau 2 podemos escrevê-la como:

$ax^{2}+bx+c=0$$ax^{2}+bx+c=0$ ou $x^{2}-x\cdot (x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=0$$x^{2}-x\cdot (x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=0$

Onde a segunda pode ser fatorada como $(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$$(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$ e a primeira, como consequência, será: $a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$$a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$

Produto de Warring

Caso 1

$(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$$(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$

• Prova: Considerando $(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2}),$$(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2}),$ temos:

$(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.$$(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.$

• Exemplo:

1. $(x+5)\cdot (x^{2}-5x+25)=x^{3}+5^{3}=x^{3}+125$$(x+5)\cdot (x^{2}-5x+25)=x^{3}+5^{3}=x^{3}+125$
2. $(2x+3)\cdot (4x^{2}-6x+9)=(2x)^{3}+3^{3}=8x^{3}+27$$(2x+3)\cdot (4x^{2}-6x+9)=(2x)^{3}+3^{3}=8x^{3}+27$

Caso 2

$(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$$(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$

• Prova: Considerando $(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2}),$$(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2}),$ temos:

$(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b-ab^{2}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}$$(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b-ab^{2}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}$

• Exemplo
  • $(x-3)\cdot (x^{2}+3x+9)=x^{3}-3^{3}=x^{3}-27$$(x-3)\cdot (x^{2}+3x+9)=x^{3}-3^{3}=x^{3}-27$

Ver também

Equação Polinomial

Ligações externas

• Produtos Notáveis