Saltar para o conteúdo

Produtório

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em matemática, produtório (ou piatório) é a multiplicação de uma sequência de objetos matemáticos (números, funções, vetores, matrizes, etc.), chamados fatores, que tem como resultado o seu produto[1][2]. É uma operação análoga ao somatório, embora seja menos utilizado quanto esse último. É representado pela letra grega pi maiúscula (Π). Dessa forma, o produtório da sequência é denotado pela sucessão das multiplicações entre fatores subsequentes, ou seja, . Exemplificando com números: o produtório de é igual a .

Notação pi maiúsculo

[editar | editar código-fonte]
O produtório geralmente é simbolizado pela letra grega Pi maiúsculo, décima sexta letra do alfabeto grego.
O produtório é denotado por Π (pi maiúsculo), sendo essa a décima sexta letra do alfabeto grego.

A notação utilizada para representar o produtório de termos similares é o pi maiúsculo . Dada uma sequência , o produtório é definido como:Onde é o índice do produtório; é uma variável indexada que representa cada termo do produtório; é o índice inicial (ou limite inferior), e é o índice final (ou limite superior). O índice começa igual ao limite inferior ("") e é acrescido em uma unidade a cada fator iterativo subsequente, até que atinja o limite superior (""). A partir dessa definição, deduz-se que .

Sejam e sequências (por exemplo, numéricas), , e escalares e o número de fatores iterativos gerados na expressão resultante, temos as seguintes propriedades[2][3]:

  1. , onde .

Número de fatores iterativos

[editar | editar código-fonte]

O número de fatores iterativos é o total de fatores repetitivos na expressão resultante da expansão do produtório. Como o produtório é a multiplicação de vários elementos, é incorreto chamar cada fator de "termo", como fazemos no somatório, já que poderíamos considerar toda a expressão final como um termo apenas, dado que todos os objetos estão se multiplicando. Deve-se ter em mente que o número de fatores não diz respeito ao produtório em si, mas sim ao número de iterações dos termos da sequência que está sendo multiplicada, ou seja, quantos valores distintos o índice pode assumir, dado que . Por isso, quando expandimos o produtório, é comum representarmos cada fator iterativo gerado pelo incremento do índice entre parênteses, sem alterar o valor da expressão devido à propriedade associativa da multiplicação[2].

O número de iterações é dado por , onde:

é o número de fatores iterativos da expressão resultante;

é o índice final (ou limite superior);

é o índice inicial (ou limite inferior);

é o número de restrições sobre o intervalo .

É relevante saber o número de fatores iterativos em alguns casos, pois algumas propriedades utilizam o número de iterações do produtório, que geralmente é igual ao limite superior , entretanto, isso pode variar quando ou quando temos restrições no intervalo .

Exemplo:

Observe que o produtório gerou quatro iterações com o fator . Nesse caso, o número de iterações é igual ao limite superior "", isso porque e não temos restrições sobre o intervalo . Isso corrobora a fórmula :

Exemplo 2:

Agora observe que o produtório gerou cinco iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "" porque ; não há restrições sobre o intervalo . Isso também é verdade segundo a fórmula:

Exemplo 3: para .

Observe agora que o produtório gerou duas iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "" porque agora temos uma restrição ao intervalo , dado que . Utilizando a fórmula:

Observação: o número de iterações não é necessariamente igual ao número de fatores da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as restrições pertencem ao intervalo , caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).

Referências

  1. «Notações de Somatório e Produtório». O Blog do Mestre. 19 out. 2013. Consultado em 28 ago. 2020 
  2. a b c SILVA, Anderson R. «Estatística Básica: Somatório e Produtório» (PDF). Weebly. Consultado em 28 ago. 2020 
  3. ARAÚJO, Aldrovando L. A. (2010). «Fundamentos da Matemática II» (PDF). Universidade Federal de Santa Catarina. Consultado em 28 ago. 2020 
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.