Reflexão com deslizamento

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A operação de uma reflexão com deslizamento: um composto de uma reflexão ao longo de uma linha e uma translação paralela à linha de reflexão.
Uma vez que esta trilha de pegada possui simetria de reflexão com deslizamento, a aplicação da operação de reflexão com deslizamento mapeará cada pegada esquerda em uma pegada direita e vice-versa, levando a uma configuração final que é indistinguível da original.

Na geometria bidimensional, uma reflexão com deslizamento (ou reflexão transladada, ou translação refletida (ou transflecção) é uma operação de simetria que consiste em uma reflexão sobre uma linha e, em seguida, uma translação ao longo dessa linha, combinados em uma única operação. A etapa intermediária entre a reflexão e a translação pode parecer diferente da configuração inicial, portanto, os objetos com simetria de deslizamento são, em geral, não simétricos apenas sob reflexão. Na teoria dos grupos, o plano de deslizamento é classificado como um tipo de isometria oposta ao plano euclidiano.

Um único deslize é representado como grupo de frisos p11g. Uma reflexão com deslizamento pode ser vista como uma rotorreflexão limitante, onde a rotação se torna uma translação. Também pode ser dada uma notação Schoenflies como S 2∞, notação Coxeter como [∞ +, 2 + ] e notação orbifold como ∞ ×.

Descrição[editar | editar código-fonte]

A combinação de uma reflexão em uma linha e uma translação em uma direção perpendicular é uma reflexão em uma linha paralela. No entanto, uma reflexão com deslizamento não pode ser reduzida dessa forma. Portanto, o efeito de uma reflexão combinado com qualquer translação é uma reflexão deslizante, sendo um caso especial apenas uma reflexão. Esses são os dois tipos indiretos de isometrias em 2D .

Por exemplo, existe uma isometria que consiste na reflexão sobre o eixo x, seguida por uma translação de uma unidade paralela a ela. Em coordenadas, leva à seguinte fórmula:

( x, y ) → ( x + 1, - y ).

Ele corrige um sistema de linhas paralelas.

O grupo de isometria gerado apenas por uma reflexão com deslizamento é um grupo cíclico infinito. [1]

Combinando duas reflexões de deslizamento iguais, dá uma translação pura com um vetor de translação que é duas vezes maior do que o vetor de reflexão com deslizamento, portanto, os poderes pares da reflexão com deslizamento formam um grupo de translação.

No caso de simetria de reflexâo de deslizamento, o grupo de simetria de um objeto contém um reflexo de deslizamento e, portanto, o grupo gerado por ele. Se isso for tudo o que ele contém, este tipo é o grupo de frisos p11g.

Exemplo padrão com este grupo de simetria:

Frieze example p11g.png

Grupo Frieze nº. 6 (reflexos de deslizamento, translações e rotações) é gerado por uma reflexão com deslizamento e uma rotação em torno de um ponto na linha de reflexão. É isomórfico a um produto semidireto de Z e C 2 .

Exemplo padrão com este grupo de simetria:

Frieze example p2mg.png

Um exemplo típico de reflexão com deslizamento na vida cotidiana seria o rastro de pegadas deixadas na areia por uma pessoa caminhando na praia.

Para qualquer grupo de simetria contendo alguma simetria de reflexão com deslizamento, o vetor de translação de qualquer reflexão com deslizamento é a metade de um elemento do grupo de translação. Se o vetor de translação de uma reflexão com deslizamento é ele próprio um elemento do grupo de translação, então a simetria de reflexão com deslizamento correspondente se reduz a uma combinação de simetria de reflexão e simetria de translação .

A simetria da reflexão com deslizamento em relação a duas linhas paralelas com a mesma translação implica que também há simetria de translação na direção perpendicular a essas linhas, com uma distância de translação que é duas vezes a distância entre as linhas de reflexão com deslizamento. Isso corresponde ao grupo de papel de parede pg; com simetria adicional ocorre também em pmg, pgg e p4g.

Se também houver linhas de reflexão verdadeiras na mesma direção, então elas serão espaçadas igualmente entre as linhas de reflexão com deslizamento. Uma linha de reflexão com deslizamento paralela a uma linha de reflexão verdadeira já implica esta situação. Isso corresponde ao grupo de papel de parede cm. A simetria translacional é dada por vetores de translação oblíquos de um ponto em uma linha de reflexão verdadeira para dois pontos na próxima, apoiando um losango com a linha de reflexão verdadeira como uma das diagonais. Com simetria adicional, ocorre também em cmm, p3m1, p31m, p4m e p6m.

Em 3D, a reflexão com deslizamento é chamada de plano de deslizamento . É uma reflexão em um plano combinada com uma translação paralela ao plano.

Grupos de papel de parede[editar | editar código-fonte]

No plano euclidiano, 3 de 17 grupos de papel de parede requerem geradores de reflexão com deslizamento. p2gg tem reflexos de deslizamento ortogonais e rotações de 2 vezes. cm possui espelhos paralelos e deslizamentos, e pg possui deslizamentos paralelos. (Reflexos de deslizamento são mostrados abaixo como linhas tracejadas)

Domínios de rede de grupo de papel de parede e domínios fundamentais (amarelo)
Nome cristalográfico pgg cm pg
Nome de Conway 22 × * × × ×
Diagrama Wallpaper group diagram pgg.svg Wallpaper group diagram cm rotated.svg Wallpaper group diagram pg.svg
Exemplo SymBlend pgg.svg SymBlend cm.svg SymBlend pg.svg

Deslize a reflexão na natureza e nos jogos[editar | editar código-fonte]

A simetria de deslizamento pode ser observada na natureza entre alguns fósseis da biota de Ediacara ; os machaeridianos ; e certos vermes paleoescolecídeos . [2] Também pode ser visto em muitos grupos existentes de canetas marinhas . [3]

A reflexão com deslizamento é comum no Jogo da Vida de Conway ao produzir Gun (autômato celular) .

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Martin, George E. (1982), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, ISBN 9780387906362, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 64 
  2. Waggoner, B. M. (1996). «Phylogenetic Hypotheses of the Relationships of Arthropods to Precambrian and Cambrian Problematic Fossil Taxa». Systematic Biology. 45: 190–222. JSTOR 2413615. doi:10.2307/2413615 
  3. Zubi, Teresa (2 de janeiro de 2016). «Octocorals (Stoloniferans, soft corals, sea fans, gorgonians, sea pens) - Starfish Photos - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)». starfish.ch. Consultado em 8 de setembro de 2016 

Links Externos[editar | editar código-fonte]