Regra de quadratura gaussiana

Em análise numérica, uma regra de quadratura é uma aproximação da integral de uma função, geralmente estabelecida como um somatório com pesos dos valores assumidos pela função em pontos específicos dentro do domínio de integração. (Veja integração numérica para mais sobre regras de quadratura.)

Uma regra de quadratura gaussiana de n pontos, chamada assim em homenagem a Carl Friedrich Gauss, é uma regra de quadratura construída para produzir um resultado exato para polinômios de grau 2n − 1 ou menor para uma escolha adequada dos pontos x_i e pesos w_i para i = 1,...,n. O domínio de integração de tal regra é por convenção tomado como [−1, 1], de modo que a regra é expressa como

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).$

Pode ser mostrado (veja Press, et al., ou Stoer and Bulirsch) que os pontos usados para avaliar a função são as raízes do $n$-ésimo polinômio de Legendre.

Referências

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1972), “§25.4, Integration”, Handbook of Mathematical Functions (with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables), Dover, ISBN 978-0-486-61272-0
• Gil, Amparo; Segura, Javier & Temme, Nico M. (2007), “§5.3: Gauss quadrature”, Numerical Methods for Special Functions, SIAM, ISBN 978-0-898716-34-4
• Kahaner, David; Moler, Cleve & Nash, Stephen (1989), Numerical Methods and Software, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Kronrod, Aleksandr Semenovish (1965), Nodes and weights of quadrature formulas. Sixteen-place tables, New York: Consultants Bureau (Authorized translation from the Russian)
• Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, C. W. & Kahaner, D. K. (1983), QUADPACK, A subroutine package for automatic integration, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-12553-2 (Reference guide for QUADPACK)
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A. & Vetterling, William T. (1988), “§4.5: Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials”, Numerical Recipes in C (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43108-8
• Stoer, Josef & Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3 .
• Patterson, T. N. L. (1968), “The Optimum Addition of Points to Quadrature Formulae”, Math. Comput. 22 (104): 847-856 and C1-C11 .
• Patterson, T. N. L. (1969), Math. Comput. 23: 892 (Errata).

Ligações externas

• QUADPACK (parte de SLATEC): descrição [1], código fonte [2]. QUADPACK é uma coleção de algoritmos em Fortran para integração numérica baseada na regra de Gauss-Kronrod.
• «ALGLIB». contains a collection of algorithms for numerical integration (in C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc.) 
• «GNU Scientific Library». - includes C version of QUADPACK algorithms (see also GNU Scientific Library) 
• «Gaussian Quadrature Rule of Integration - Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad». at Holistic Numerical Methods Institute 
• «Livro de cálculo numérico»  mantido pelo projeto REAMAT da Universidade Federal do Rio Grande do Sul
• Quadratura de Gauss-Legendre (demonstração acessível e detalhada do cálculo das abscissas e dos pesos, da convergência ao aumentar o número de pontos, pseudocódigo, etc.)