Representação decimal

• Este artigo provê uma definição matemática. Para informações conexas, ver Decimal.

Representação decimal de um número real não-negativo r é uma expressão da forma.

$r=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$

onde $a_{0}$ é um número natural, e $a_{1},a_{2},\dots$ são números naturais que satisfazem $0\leq a_{i}\leq 9$;

Isto é frequentemente escrito de modo mais compacto e elegante como segue:

$r=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots .$

Significa-se, com esta última forma, que $a_{0}$ é a parte inteira de $r$, não necessariamente entre 0 e 9, e $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ são os dígitos que compõem a parte fracionária (ou "não-inteira") de $r.$

A aparente exigência de ser o número real "não-negativo" justifica-se: para os números reais negativos, a representação formal é a mesma precisamente, bastando juntar-se-lhe o sinal convencional de número negativo (o sinal "–"). O sinal "–" entende-se, então, como um operador de inversão ou simetria aditiva: o operador capaz de transformar um dado número no seu inverso aditivo (ou simétrico aditivo).

Aproximações decimais finitas

Qualquer número real pode ser aproximado a qualquer desejado ou especificado grau de precisão por meio de números racionais com representações decimais finitas.

Seja $x\geq 0$. Então, para todo número natural $n\geq 1$, existe um decimal finito $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ tal que

$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,$

Demonstração:

Seja $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$, onde $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$. Então $p\leq 10^{n}x<p+1$, e o resultado surge pela divisão de ambos os lados por $10^{n}$. (O fato de que $r_{n}$ tem uma representação decimal finita é facilmente estabelecido.)

Representações decimais múltiplas

• (Ver artigo principal 0,999...)

Alguns números reais têm duas representações decimais infinitas. Por exemplo, o número 1 pode ser corretamente representado por 1,0000000..., bem como por 0,9999999... (com um número infinito de dígitos "9", extensão ao infinito simbolizada por "...", as reticências). Convencionalmente, a primeira versão é preferida e há várias razões práticas para isso: basta omitir a sequência infinita de dígitos "0" após o separador decimal — a vírgula decimal, em cultura lusófona, o ponto decimal, em cultura anglófona — remover o separador decimal, e uma compacta e conveniente forma decimal normalizada é obtida.

Contudo, as outras formas de representação decimal infinitas merecem atenção e não devem ser consideradas inferiores. Isso, todavia, é melhor examinado em artigos específicos.

Ver também

• Conjunto contínuo
• Conjunto denso
• Conjunto discreto
• Continuidade
• Decimal
• Fração contínua
• Medição
• Números reais
• Série (matemática)

Referências

• APOSTOL, Tom. Mathematical analysis. 2. ed.. New York: Addison-Wesley, 1974.

Ligações externas

• Plouffe's inverter descreve um número, dada sua representação decimal. Por exemplo, exibirá 3,14159265... como π.