Restrição holonômica

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Na mecânica clássica, restrições holonômicas  são relações entre as variáveis de posição (e, possivelmente, de tempo), que podem ser expressas da seguinte forma: , onde são as n coordenadas que descrevem o sistema. Por exemplo, o movimento de uma partícula restrito a permanecer na superfície de uma esfera está sujeito a restrições holonômicas, mas se a partícula é capaz de cair fora da esfera sob a influência da gravidade, a restrição torna-se não-holonômica.

Restrições dependentes de velocidade, tais como , geralmente não são holonômicas.

Sistema holonômico (física)[editar | editar código-fonte]

Na mecânica clássica, um sistema pode ser definido como holonômico se todas as restrições do sistema forem holonômicas. Para uma restrição ser holonômica ela deve ser expressa como uma função:

isto é, uma restrição holonômica depende apenas das coordenadas e do tempo . Ela não depende da velocidade ou de qualquer derivada de ordem superior com relação a t. Uma restrição que não pode ser expressa na forma acima é um restrição não-holonômica.

Transformação para coordenadas generalizadas independentes[editar | editar código-fonte]

As equações de restrições holonômicas podem nos ajudar a remover facilmente algumas das variáveis dependentes em nosso sistema. Por exemplo, se quisermos remover , que é um parâmetro na equação de restrição podemos reordenar a equação da seguinte forma, supondo que isso possa ser feito,

e substituir o em cada equação do sistema usando a função acima. Isto sempre pode ser feito em sistemas físicos em geral, desde que seja e então pelo teorema da função implícita, a solução é garantida em algum conjunto aberto. Assim, é possível remover todas as ocorrências da variável dependente .

Suponha que um sistema físico tenha graus de liberdade. Agora, restrições holonômicas são impostas sobre o sistema. Neste caso, o número de graus de liberdade é reduzido para . Isso quer dizer que podemos usar coordenadas generalizadas independentes () para descrever completamente o movimento do sistema. A equação de transformação pode ser expressa da seguinte forma:

Forma diferencial[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte forma diferencial da equação de restrição:

onde cij, ci são os coeficientes dos diferenciais dqj e dt para a iésima restrição.

Se a forma diferencial é integrável, isto é, se existe uma função satisfazendo a igualdade

então esta restrição é uma restrição holonômica; caso contrário, é não-holonômica. Portanto, todas as restrições holonômicas e algumas não-holonômicas podem ser expressas utilizando a forma diferencial. Nem todas as restrições não-holonômicas podem ser expressas desta forma. Exemplos de restrições não-holonômicas que não podem ser expressas desta forma são aquelas que são dependentes de velocidades generalizadas. Com uma equação de restrição na forma diferencial, se a restrição é holonômica ou não-holonômica depende da integrabilidade da forma diferencial.

Classificação de sistemas físicos[editar | editar código-fonte]

Para estudar a física clássica de uma forma rigorosa e metódica, temos que classificar sistemas. Com base na discussão anterior, podemos classificar os sistemas físicos em sistemas holonômicos e sistemas não-holonômicos. Uma das condições para a aplicabilidade de muitos teoremas e equações é que o sistema tem de ser holonômico. Por exemplo, se um sistema físico é holonômico e monogênico, então o princípio de Hamilton é condição necessária e suficiente para a correção da equação de Lagrange.[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um pêndulo simples

Como mostrado à direita, um pêndulo simples é um sistema composto de um peso e um fio. O fio é preso na extremidade superior por um pivô e na extremidade inferior a um peso. Sendo inextensível, o comprimento do fio é constante. Portanto, este sistema é holonômico; ele obedece à restrição holonômica

onde é a posição do peso e é o comprimento do fio.

As partículas de um corpo rígido obedecem a restrição holonômica

onde , são, respectivamente, as posições das partículas e , e é a distância entre elas.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-201-65702-3