Equação de Euler-Lagrange

No cálculo de variações e na mecânica clássica, as equações de Euler–Lagrange constituem um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem cujas soluções são pontos estacionários de um determinado funcional de ação. As equações foram descobertas na década de 1750 pelo matemático suíço Leonhard Euler e pelo matemático italiano Joseph-Louis Lagrange.

Como um funcional diferenciável é estacionário em seus extremos locais, a equação de Euler–Lagrange é fundamental para resolver problemas de otimização nos quais, dado um funcional, busca-se a função que o minimiza ou maximiza. Isso é análogo ao teorema de Fermat no cálculo diferencial e integral, que estabelece que em qualquer ponto onde uma função diferenciável atinge um extremo local, sua derivada é nula. Na mecânica lagrangiana, de acordo com o princípio de Hamilton da ação estacionária, a evolução de um sistema físico é descrita pelas soluções da equação de Euler para a ação do sistema. Nesse contexto, as equações de Euler são comumente chamadas de equações de Lagrange. Na mecânica clássica, essa formulação é equivalente às leis do movimento de Newton; de fato, as equações de Euler–Lagrange produzem as mesmas equações das leis de Newton. Essa abordagem é particularmente vantajosa na análise de sistemas cujos vetores de força são complexos, apresentando a conveniência de assumir a mesma forma invariante em qualquer sistema de coordenadas generalizadas, além de ser mais adequada para generalizações teóricas. Na teoria clássica de campos, existe uma equação análoga para calcular a dinâmica de um campo.

História

A equação de Euler–Lagrange foi desenvolvida em conexão com os estudos do problema da tautócrona.

A equação de Euler–Lagrange foi desenvolvida na década de 1750 por Euler e Lagrange em conexão com suas investigações sobre o problema da tautócrona. Trata-se do problema de determinar a curva sobre a qual uma partícula sujeita à gravidade desce até um ponto fixo no mesmo intervalo de tempo, independentemente do ponto de partida.

Lagrange resolveu o problema analiticamente em 1755 e enviou a solução a Euler. Ambos desenvolveram o método de Lagrange e o aplicaram à mecânica, o que conduziu à formulação da mecânica lagrangiana. A correspondência entre ambos levou à consolidação do cálculo de variações, termo cunhado pelo próprio Euler em 1766.

Enunciado

Seja $(X,L)$ um sistema dinâmico real com $n$ graus de liberdade. Aqui $X$ é o espaço de configuração e $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ é a lagrangiana, isto é, uma função real suave tal que ${\boldsymbol {q}}(t)\in X,$ e ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ é um "vetor de velocidades" $n$-dimensional, onde ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ é a derivada temporal de ${\boldsymbol {q}}(t)$. (Na linguagem da geometria diferencial, $X$ é uma variedade suave e $L\colon {\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ onde $TX$ é o fibrado tangente de $X$).

Seja ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ o conjunto de caminhos suaves ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ para os quais ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ e ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$.

O funcional de ação $S\colon {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ é definido por: $$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.$$

Um caminho ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ é um ponto estacionário de $S$ se e somente se:

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

Por ponto estacionário entende-se um ponto estacionário de $S$ com respeito a qualquer perturbação de classe suave em ${\boldsymbol {q}}$.

Dedução da equação de Euler–Lagrange unidimensional

A dedução da equação de Euler–Lagrange unidimensional baseia-se no lema fundamental do cálculo das variações.

Deseja-se encontrar uma função $f$ que satisfaça as condições de contorno $f(a)=A$, $f(b)=B$, e que torne estacionário o funcional: $$J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$$

Assume-se que $L$ seja duas vezes continuamente diferenciável.

Se $f$ fornece um extremo para o funcional sujeito às condições de contorno, qualquer perturbação infinitesimal de $f$ que preserve os valores nos extremos do intervalo deve aumentar $J$ (caso $f$ seja um minimizador) ou diminuir $J$ (caso $f$ seja um maximizador).

Seja $f+\varepsilon \eta$ o resultado de tal perturbação $\varepsilon \eta$ de $f$, onde $\varepsilon$ é um parâmetro escalar pequeno e $\eta$ é uma função diferenciável arbitrária satisfazendo $\eta (a)=\eta (b)=0$. Define-se: $$\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .$$

Calcula-se a derivada total de $\Phi$ em relação a $\varepsilon$: $${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}$$

A terceira linha decorre do fato de que a variável independente $x$ não depende de $\varepsilon$, ou seja, ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$.

Quando $\varepsilon =0$, $\Phi$ atinge um valor extremo, de modo que: $$\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .$$

Aplicando a integração por partes no segundo termo do integrando: $$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .$$

Utilizando as condições de contorno $\eta (a)=\eta (b)=0$, o termo de fronteira anula-se: $$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$$

A aplicação do lema fundamental do cálculo das variações conduz à equação de Euler–Lagrange: $${\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.$$

Dedução alternativa da equação de Euler–Lagrange unidimensional

Dado um funcional: $$J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$$ em $C^{1}([a,b])$ com as condições de contorno $y(a)=A$ e $y(b)=B$, pode-se aproximar a curva extremal por uma linha poligonal com $n$ segmentos e passar ao limite quando o número de segmentos cresce indefinidamente.

Divide-se o intervalo $[a,b]$ em $n$ segmentos iguais com extremidades $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ e seja $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$. Em vez de uma curva suave $y(t)$, considera-se a linha poligonal com vértices $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$, onde $y_{0}=A$ e $y_{n}=B$. O funcional transforma-se em uma função real de $n-1$ variáveis: $$J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$$

Os pontos estacionários desse funcional discreto nos pontos $t_{0},\ldots ,t_{n}$ correspondem às soluções de: $${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$$

A variação de $y_{m}$ afeta $L$ no índice $m$ e também no índice $m-1$ através da derivada aproximada: $$L\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$$ $$L\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$$

Calculando a derivada parcial: $${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$$

Dividindo a equação por $\Delta t$: $${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$$ e tomando o limite $\Delta t\to 0$, obtém-se: $$L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$$

O lado esquerdo corresponde à derivada funcional $\delta J/\delta y$ do funcional $J$. A condição necessária para que um funcional diferenciável atinja um extremo é o anulamento de sua derivada funcional.

Exemplo

Um exemplo clássico consiste em encontrar a função real $y(x)$ no intervalo $[a,b]$, com $y(a)=c$ e $y(b)=d$, que minimiza o comprimento de arco da curva descrita por $y$:

${\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,$

sendo o integrando dado por $L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}$.

As derivadas parciais de $L$ são:

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{e}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

Substituindo na equação de Euler–Lagrange:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constante}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

Conclui-se que a função tem derivada primeira constante e, portanto, seu gráfico geométrico é uma reta.

Momentos conjugados e constantes de movimento

O momento conjugado (ou momento canônico) $p_{k}$ associado à coordenada generalizada $q_{k}$ é definido pela equação: $$p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$$

Quando a lagrangiana $L$ não contém explicitamente uma determinada coordenada generalizada $q_{k}$: $${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$$ o momento conjugado correspondente é uma constante de movimento (grandeza conservada).

Nesses casos, a coordenada $q_{k}$ é denominada coordenada cíclica (ou ignorável). Por exemplo, em coordenadas polares $(r,\theta )$, se a lagrangiana não depender explicitamente do ângulo $\theta$, o momento conjugado associado é o momento angular, que permanece conservado ao longo do tempo.

Generalizações

Função única de uma variável com derivadas de ordem superior

Os valores estacionários do funcional:

$I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}$

podem ser obtidos a partir da equação generalizada de Euler–Lagrange:

${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0$

sob condições de contorno fixas para a própria função e para as suas primeiras $k-1$ derivadas (isto é, para todo $f^{(i)},i\in \{0,\dots ,k-1\}$). Os valores nos pontos extremos da derivada de maior ordem $f^{(k)}$ permanecem livres.

Múltiplas funções de uma variável com derivadas de primeira ordem

Se o problema consiste em determinar diversas funções ($f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$) de uma única variável independente ($x$) que forneçam um extremo para o funcional:

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}$

as correspondentes equações de Euler–Lagrange são expressas por:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,\dots ,m\end{aligned}}$

Função única de múltiplas variáveis com derivadas de primeira ordem

A generalização multidimensional para uma função de $n$ variáveis definidas sobre um domínio $\Omega$:

$I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} ~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}$

atinge um valor estacionário se $f$ satisfizer a equação diferencial parcial:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.$

Para $n=2$, quando o funcional representa a energia de uma superfície, a formulação reduz-se ao problema da superfície mínima.

Múltiplas funções de múltiplas variáveis com derivadas de primeira ordem

Quando há várias funções desconhecidas e múltiplas variáveis independentes:

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} ~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

o sistema de equações de Euler–Lagrange resultante é:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0.\end{aligned}}$

Função única de duas variáveis com derivadas de ordem superior

Se uma única função desconhecida $f$ depende de duas variáveis $x_{1}$ e $x_{2}$, e o funcional envolve derivadas parciais até a ordem $n$:

${\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

a equação de Euler–Lagrange correspondente é:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}$

que pode ser expressa sucintamente por:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

em que os índices $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ variam de 1 a 2, somando-se apenas sobre combinações ordenadas $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \dots \leq \mu _{j}$ para evitar a repetição de derivadas parciais mistas idênticas pelo teorema de Clairaut-Schwarz.

Múltiplas funções de múltiplas variáveis com derivadas de ordem superior

Para $p$ funções desconhecidas $f_{i}$ dependentes de $m$ variáveis $x_{1},\dots ,x_{m}$, com derivadas até a ordem $n$:

${\begin{aligned}I[f_{1},\dots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{m};f_{1},\dots ,f_{p};f_{1,1},\dots ,f_{p,m};f_{1,11},\dots ,f_{p,mm};\dots ;f_{p,1\dots 1},\dots ,f_{p,m\dots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

a equação de Euler–Lagrange assume a forma:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \dots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

ou, de forma compacta:

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \dots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\dots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

Teorias de campos

Ver artigo principal: Densidade lagrangiana

Generalização para variedades

Seja $M$ uma variedade suave e denote por $C^{\infty }([a,b])$ o espaço de funções suaves $f\colon [a,b]\to M$. Para funcionais $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ da forma:

$S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t$

onde $L\colon TM\to \mathbb {R}$ é a lagrangiana, a condição $\mathrm {d} S_{f}=0$ é equivalente a afirmar que, para todo $t\in [a,b]$, cada sistema de coordenadas locais $(x^{i},X^{i})$ em uma vizinhança de ${\dot {f}}(t)$ satisfaz as seguintes $\dim M$ equações diferenciais:

$\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.$

As equações de Euler–Lagrange também podem ser formuladas de forma puramente geométrica e livre de coordenadas como:

${\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL$

onde $\theta _{L}$ é a 1-forma dos momentos canônicos associada à lagrangiana $L$, $\Delta$ é o campo vetorial que gera translações temporais e ${\mathcal {L}}$ representa a derivada de Lie. Em cartas locais $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$, onde $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ e ${\displaystyle \Delta$ :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}} , a expressão da derivada de Lie reproduz as equações de Euler–Lagrange convencionais.

Ver também

• Mecânica lagrangiana
• Mecânica hamiltoniana
• Mecânica analítica
• Identidade de Beltrami
• Derivada funcional

Bibliografia

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Lagrange equations (in mechanics)», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Weisstein, Eric W. «Euler-Lagrange Differential Equation». MathWorld (em inglês) 
• Predefinição:PlanetMath
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Calculus of Variations. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-41448-5 
• Roubicek, T.: Calculus of variations. Cap. 17 em: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp. 551–588.