Resultante

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos $P$ e $Q$ sobre um corpo $k$ define-se como o produto:

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,$

Das diferenças de suas raízes, de onde $x$ e $y$ tomam valores no fecho algébrico de $k$. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes $p$ e $q$, respectivamente, o produto acima é multiplicado por:

$p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,$

Computação

• A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

• O produtório anterior pode ser reescrito como

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,$

E esta expressão permanece invariante sem $P$ reduz-se o módulo $Q$.

Propriedades

• $\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
• $\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
• Se $P'=P+R*Q$ e $\deg P'=\deg P$, entãon $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)$
• Se $X,Y,P,Q$ possui o mesmo grau e $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$,

então $\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)$

• $\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ onde $P_{-}(z)=P(-z)$