Sequência generalizada

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Em matemática, uma sequência generalizada ou sequência de Moore-Smith também conhecida pelo nome de origem inglesa net é um conceito que permite generaliza a ideia de limite de sequências.

Este conceito foi apresentado inicialmente por E. H. Moore e H. L. Smith em 1922[1] . Um conceito parecido, de filtro, foi desenvolvido em 1937 por Henri Cartan.

Definições[editar | editar código-fonte]

  • Um conjunto A\, é dito conjunto direcionado se:
    • É não vazio
    • Admite uma ordem parcial \geq\,
    • Para todos \alpha\, e \beta\, em A\,, existe \gamma\in A tal que \gamma\geq \alpha\, e \gamma\geq \beta\,.
  • Uma aplicação x_\alpha:A\to X\, é dita uma sequência generalizada se A\, é um conjunto direcionado e X\, é um espaço topológico.
  • x_\alpha\, é dita estar eventualmente em V\subseteq X\, se existe um \alpha\, tal que:
\gamma\geq\alpha\Longrightarrow x_\gamma\in V\,
  • x_\alpha\, é dita estar frequentemente em V\subseteq X\, se para todo \alpha\, existe um \gamma\, tal que:
x_\gamma\in V\,
  • x_\alpha\, converge para x\in X\, se está eventualmente em cada vizinhança de x\,.
  • x_\alpha\, se acumula em x\in X\, se está frequentemente em cada vizinhança de x\,.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Uma sequência é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto direcionado é os naturais
  • Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\, é uma função, então f(x)\, é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto dos números reais é o conjunto direcionado.

Referências

  1. E. H. Moore and H. L. Smith. "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics (1922) 44 (2), 102–121.
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